Um professor de uma turma com 30 alunos sabe que a probabilidade de um aluno entregar o trabalho no prazo é de 0,8 . Qual a probabilidade de exatamente 25 alunos entregarem o trabalho no prazo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma turma com 30 alunos, e cada aluno tem 80% de chance de entregar o trabalho no prazo. A pergunta é: qual é a probabilidade de exatamente 25 alunos entregarem o trabalho no prazo?
Para resolver isso, vamos usar o conceito de probabilidade binomial. A probabilidade binomial é útil quando queremos saber a chance de um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, com cada tentativa tendo a mesma probabilidade de sucesso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que vamos usar na fórmula:
  • Número total de tentativas (n): 30 alunos
  • Número de sucessos desejados (k): 25 alunos
  • Probabilidade de sucesso em cada tentativa §: 0,8 (80%)
  • Probabilidade de falha (q): 1 - p = 0,2

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(k) = binomnk times p^k times q^n - k
Onde:
  • binomnk é o número de combinações de n itens tomados k a k.
  • p^k é a probabilidade de sucesso elevada ao número de sucessos.
  • q^n - k é a probabilidade de falha elevada ao número de falhas.

Passo 4

Vamos calcular binom3025, que é o número de maneiras de escolher 25 alunos entre 30:
binom3025 = 30!25!(30-25)! = 30!25! times 5! = 142506

Passo 5

Agora, vamos calcular p^25:
0,8^25 approx 0,008824752

Passo 6

Em seguida, calculamos q^5:
0,2^5 = 0,00032

Passo 7

Finalmente, multiplicamos todos os termos para encontrar a probabilidade:
P(25) = 142506 times 0,008824752 times 0,00032 approx 0,403

Resposta

A probabilidade de exatamente 25 alunos entregarem o trabalho no prazo é de aproximadamente 40,3%.

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