(Profmat - MA12 2011) Seja \left(x_{n}\right) a sequência definida pela relação de recorrência x_{n+1}=2 x_{n}+1, com termo inicial x_{0} \in \mathbb{R}.
(a) Encontre x_{0} tal que a sequência seja constante e igual a um número real a.
(b) Resolva a recorrência com a substituição x_{n}=y_{n}+a, em que a é o valor encontrado em (a).
(c) Para que valores de x_{0} a sequência é crescente?

Passo 1

O enunciado define a sequência \bigl(x_{n}\bigr) por
x_{n+1} = 2\,x_{n} + 1,
com x_{0}\in\mathbb{R}.
(a) Queremos um x_{0} tal que x_{n}=a para todo n (sequência constante).
(b) Vamos resolver a recorrência usando a substituição x_{n}=y_{n}+a, onde a é o valor de (a).
(c) Precisamos achar para quais x_{0} a sequência é crescente.

Passo 2

Para que a sequência seja constante igual a a, devemos ter, para todo n,
x_{n+1}=a=2\,x_{n}+1=2\,a+1.
Resolvendo a=2a+1
a - 2a = 1 \quad\Longrightarrow\quad -a = 1 \quad\Longrightarrow\quad a = -1.

Passo 3

Fazendo a mudança de variável x_{n}=y_{n}+a com a=-1, temos
x_{n+1}=y_{n+1}-1,
e pela recorrência original
y_{n+1}-1 =2\bigl(y_{n}-1\bigr)+1 =2y_{n}-2+1 =2y_{n}-1.
Logo
y_{n+1}=2\,y_{n}.

Passo 4

A recorrência y_{n+1}=2\,y_{n} é geométrica de razão 2, então
y_{n}=y_{0}\,2^{n}.
Como x_{n}=y_{n}-1 e y_{0}=x_{0}+1 (pois x_{0}=y_{0}-1), obtemos
x_{n} = (x_{0}+1)\,2^{n} - 1.

Passo 5

Para verificar crescimento, analisamos
x_{n+1}-x_{n} =\bigl((x_{0}+1)\,2^{n+1}-1\bigr) -\bigl((x_{0}+1)\,2^{n}-1\bigr) =(x_{0}+1)\,2^{n}.
Esse valor é positivo para todo n se, e somente se, x_{0}+1>0, isto é,
x_{0} > -1.

Resposta

(a) a=-1.
(b) x_{n}=(x_{0}+1)\,2^{n}-1.
(c) A sequência é crescente se, e somente se, x_{0}>-1.

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