(Profmat - MA12 2011) Seja
a sequência definida pela relação de recorrência
, com termo inicial
.
(a) Encontre
tal que a sequência seja constante e igual a um número real a.
(b) Resolva a recorrência com a substituição
, em que
é o valor encontrado em (a).
(c) Para que valores de
a sequência é crescente?
(a) Encontre
(b) Resolva a recorrência com a substituição
(c) Para que valores de
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
com
.
(a) Queremos um tal que
para todo
(sequência constante).
(b) Vamos resolver a recorrência usando a substituição , onde
é o valor de (a).
(c) Precisamos achar para quais a sequência é crescente.
(a) Queremos um
(b) Vamos resolver a recorrência usando a substituição
(c) Precisamos achar para quais
Passo 2
Para que a sequência seja constante igual a
, devemos ter, para todo
,
Resolvendo
dá
Passo 3
Fazendo a mudança de variável
com
, temos
e pela recorrência original
Logo
Passo 4
A recorrência
é geométrica de razão
, então
Como
e
(pois
), obtemos
Passo 5
Para verificar crescimento, analisamos
Esse valor é positivo para todo
se, e somente se,
, isto é,
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) A sequência é crescente se, e somente se, .
(b)
(c) A sequência é crescente se, e somente se,