A projeção de Mercator baseia-se na/no:
a) Na projeção dos pontos de uma esfera sobre a superfície interna outra esfera.
b) Na projeção dos pontos de uma esfera sobre a superfície de um plano.
c) Na projeção dos pontos de uma esfera sobre a superfície interna de um cone.
d) Na projeção dos pontos de uma esfera sobre a superfície interna de um cilindro.

Passo 1

O enunciado pergunta qual das alternativas descreve a base da projeção de Mercator. As opções dadas são:
a) projeção sobre a superfície interna de outra esfera;
b) projeção sobre a superfície de um plano;
c) projeção sobre a superfície interna de um cone;
d) projeção sobre a superfície interna de um cilindro.
O que se pede: identificar a superfície para a qual os pontos da esfera (a Terra) são projetados na projeção de Mercator.

Passo 2

Vamos entender, de forma bem simples, o que é uma “projeção cartográfica” e as superfícies comuns:
  • Projetar a Terra significa associar cada ponto da esfera a um ponto numa superfície auxiliar (plano, cone, cilindro, outra esfera) e então desenhar essa superfície plana (por exemplo desenrolando o cilindro).
  • Projeção cilíndrica: imagina um cilindro envolvendo a esfera, tangentemente ao equador; cada ponto da esfera é levado até o cilindro (por projeção radial ou por construção matemática) e depois o cilindro é “desenrolado” num retângulo.
  • Projeção cônica: usa um cone tangente ou secante à esfera; quando desenrolado, dá um setor circular.
  • Projeção plana (azimutal): projeta diretamente sobre um plano tangente ou secante.
Só com essa ideia visual já conseguimos distinguir qualitativamente as opções (plano, cone, cilindro, esfera).

Passo 3

O objetivo histórico da projeção de Mercator (século XVI) era facilitar a navegação: queria-se que rotas de rumo constante (loxódromas, isto é, trajetórias com rumo fixo) aparecessem como linhas retas no mapa. Mercator construiu uma projeção que transforma essas curvas em linhas retas, o que é uma propriedade típica da projeção cilíndrica conformal que hoje chamamos de projeção de Mercator.
Resumo intuitivo: Mercator usa um cilindro envolvido à volta da Terra (tangente ao equador) e constrói o mapa de modo que meridianos fiquem como linhas verticais igualmente espaçadas e paralelos como linhas horizontais, com espaçamento vertical ajustado de forma especial para preservar ângulos locais (conformidade). Isso já indica “cilindro” como superfície usada.

Passo 4

Agora uma explicação um pouco mais matemática — ainda simples — que mostra por que a superfície usada é um cilindro.
Definição padrão da projeção de Mercator (em coordenadas):
  • Para longitude \lambda (medida a partir de um meridiano de referência) o eixo horizontal do mapa é proporcional a \lambda. Ou seja, a abscissa é \;x = k\,\lambda\; (onde k é uma constante de escala).
  • Para latitude \varphi (medida a partir do equador) a ordenada do mapa é dada por
y(\varphi)=\ln\!\bigl(\tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\varphi}{2}\bigr)\bigr).
Aqui \varphi varia entre -\tfrac{\pi}{2} (polo Sul) e +\tfrac{\pi}{2} (polo Norte). A constante k apenas ajusta escala horizontal; o que define a “forma” vertical é a função y(\varphi) acima.
Explicando as variáveis:
  • \lambda é a longitude (ângulo no plano equatorial);
  • \varphi é a latitude (ângulo entre o ponto e o equador);
  • x e y são as coordenadas no mapa plano resultante (após desenrolar o cilindro).

Passo 5

Propriedades imediatas da fórmula que conectam à ideia de cilindro:
  • No equador ( \varphi=0) temos
y(0)=\ln\!\bigl(\tan(\tfrac{\pi}{4})\bigr)=\ln(1)=0,
ou seja, o equador fica numa linha horizontal do mapa (a “cintura” do cilindro).
  • À medida que \varphi\to\tfrac{\pi}{2} (próximo ao polo), \tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\varphi}{2}\bigr)\to\infty e portanto y(\varphi)\to\infty. Os polos são levados para infinito no mapa: isso combina com a imagem de um cilindro tangentemente ao equador que, ao ser desenrolado, tem extensão vertical infinita (ou grande) — algo típico da projeção cilíndrica que “estica” muito perto dos polos.
Essas características são exatamente as esperadas se a superfície de projeção for um cilindro envolvendo a esfera.

Passo 6

Um pouco mais de razão técnica (mas curta): por que a função y(\varphi) tem esse formato com logaritmo e tangente? Porque Mercator quis uma projeção conforme (preservar ângulos localmente). Para conformidade é necessário que a escala na direção meridional seja igual à escala na direção paralela. Essa condição leva a uma relação diferencial entre y e \varphi:
\frac{dy}{d\varphi}=\operatorname{sec}\varphi=\frac{1}{\cos\varphi}.
Integrando essa relação obtemos
y(\varphi)=\int \operatorname{sec}\varphi\,d\varphi=\ln\!\bigl(\tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\varphi}{2}\bigr)\bigr)+C,
que é (até uma constante C) exatamente a fórmula usada. Essa dedução mostra que a projeção foi construída como uma projeção “cilíndrica conforme”, não como uma projeção plana ou cónica simples.

Passo 7

Comparando com as alternativas:
  • (a) esfera → esfera: não é Mercator (isso seria outra construção).
  • (b) esfera → plano: projeções azimutais projetam diretamente para um plano; Mercator não.
  • (c) esfera → cone: projeções cônicas existem (ex.: Lambert cônico) e têm outra aparência (paralelos são arcos, não retas horizontais uniformes).
  • (d) esfera → cilindro: corresponde exatamente à descrição da projeção de Mercator (cilindro tangente ao equador, desenrolado posteriormente, com espaçamento vertical dado por y(\varphi)=\ln(\tan(\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\varphi}{2}))).
Portanto a alternativa correta é a que fala do cilindro.

Resposta

(d)

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