A projeção de Mercator baseia-se na/no:
a) Na projeção dos pontos de uma esfera sobre a superfície interna outra esfera.
b) Na projeção dos pontos de uma esfera sobre a superfície de um plano.
c) Na projeção dos pontos de uma esfera sobre a superfície interna de um cone.
d) Na projeção dos pontos de uma esfera sobre a superfície interna de um cilindro.
a) Na projeção dos pontos de uma esfera sobre a superfície interna outra esfera.
b) Na projeção dos pontos de uma esfera sobre a superfície de um plano.
c) Na projeção dos pontos de uma esfera sobre a superfície interna de um cone.
d) Na projeção dos pontos de uma esfera sobre a superfície interna de um cilindro.
Passo 1
O enunciado pergunta qual das alternativas descreve a base da projeção de Mercator. As opções dadas são:
a) projeção sobre a superfície interna de outra esfera;
b) projeção sobre a superfície de um plano;
c) projeção sobre a superfície interna de um cone;
d) projeção sobre a superfície interna de um cilindro.
a) projeção sobre a superfície interna de outra esfera;
b) projeção sobre a superfície de um plano;
c) projeção sobre a superfície interna de um cone;
d) projeção sobre a superfície interna de um cilindro.
O que se pede: identificar a superfície para a qual os pontos da esfera (a Terra) são projetados na projeção de Mercator.
Passo 2
Vamos entender, de forma bem simples, o que é uma “projeção cartográfica” e as superfícies comuns:
- Projetar a Terra significa associar cada ponto da esfera a um ponto numa superfície auxiliar (plano, cone, cilindro, outra esfera) e então desenhar essa superfície plana (por exemplo desenrolando o cilindro).
- Projeção cilíndrica: imagina um cilindro envolvendo a esfera, tangentemente ao equador; cada ponto da esfera é levado até o cilindro (por projeção radial ou por construção matemática) e depois o cilindro é “desenrolado” num retângulo.
- Projeção cônica: usa um cone tangente ou secante à esfera; quando desenrolado, dá um setor circular.
- Projeção plana (azimutal): projeta diretamente sobre um plano tangente ou secante.
Só com essa ideia visual já conseguimos distinguir qualitativamente as opções (plano, cone, cilindro, esfera).
Passo 3
O objetivo histórico da projeção de Mercator (século XVI) era facilitar a navegação: queria-se que rotas de rumo constante (loxódromas, isto é, trajetórias com rumo fixo) aparecessem como linhas retas no mapa. Mercator construiu uma projeção que transforma essas curvas em linhas retas, o que é uma propriedade típica da projeção cilíndrica conformal que hoje chamamos de projeção de Mercator.
Resumo intuitivo: Mercator usa um cilindro envolvido à volta da Terra (tangente ao equador) e constrói o mapa de modo que meridianos fiquem como linhas verticais igualmente espaçadas e paralelos como linhas horizontais, com espaçamento vertical ajustado de forma especial para preservar ângulos locais (conformidade). Isso já indica “cilindro” como superfície usada.
Passo 4
Agora uma explicação um pouco mais matemática — ainda simples — que mostra por que a superfície usada é um cilindro.
Definição padrão da projeção de Mercator (em coordenadas):
- Para longitude
(medida a partir de um meridiano de referência) o eixo horizontal do mapa é proporcional a . Ou seja, a abscissa é (onde é uma constante de escala). - Para latitude
(medida a partir do equador) a ordenada do mapa é dada por
Aqui
varia entre
(polo Sul) e
(polo Norte). A constante
apenas ajusta escala horizontal; o que define a “forma” vertical é a função
acima.
Explicando as variáveis:
-
é a longitude (ângulo no plano equatorial); -
é a latitude (ângulo entre o ponto e o equador); -
e são as coordenadas no mapa plano resultante (após desenrolar o cilindro).
Passo 5
Propriedades imediatas da fórmula que conectam à ideia de cilindro:
- No equador (
) temos
ou seja, o equador fica numa linha horizontal do mapa (a “cintura” do cilindro).
- À medida que
(próximo ao polo), e portanto . Os polos são levados para infinito no mapa: isso combina com a imagem de um cilindro tangentemente ao equador que, ao ser desenrolado, tem extensão vertical infinita (ou grande) — algo típico da projeção cilíndrica que “estica” muito perto dos polos.
Essas características são exatamente as esperadas se a superfície de projeção for um cilindro envolvendo a esfera.
Passo 6
Um pouco mais de razão técnica (mas curta): por que a função
tem esse formato com logaritmo e tangente? Porque Mercator quis uma projeção conforme (preservar ângulos localmente). Para conformidade é necessário que a escala na direção meridional seja igual à escala na direção paralela. Essa condição leva a uma relação diferencial entre
e
:
Integrando essa relação obtemos
que é (até uma constante
) exatamente a fórmula usada. Essa dedução mostra que a projeção foi construída como uma projeção “cilíndrica conforme”, não como uma projeção plana ou cónica simples.
Passo 7
Comparando com as alternativas:
- (a) esfera → esfera: não é Mercator (isso seria outra construção).
- (b) esfera → plano: projeções azimutais projetam diretamente para um plano; Mercator não.
- (c) esfera → cone: projeções cônicas existem (ex.: Lambert cônico) e têm outra aparência (paralelos são arcos, não retas horizontais uniformes).
- (d) esfera → cilindro: corresponde exatamente à descrição da projeção de Mercator (cilindro tangente ao equador, desenrolado posteriormente, com espaçamento vertical dado por
).
Portanto a alternativa correta é a que fala do cilindro.
Resposta
(d)