Projete um circuito que gere na saída
v_{o}=4 v_{1}+6 v_{2}-3 v_{3}-5 v_{4},
usando apenas amplificadores somadores e diferenciais.

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos.
  • Pede projetar um circuito que gere na saída
v_{o}=4 v_{1}+6 v_{2}-3 v_{3}-5 v_{4},
usando apenas amplificadores somadores e diferenciais.
  • Não há outras restrições (assumimos amplificadores ideais e que podemos usar quantos estágios forem necessários).
  • Informações relevantes dadas pelo enunciado:
    • Devemos formar uma combinação linear dos quatro sinais v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} com coeficientes \{+4,+6,-3,-5\}.
    • Podemos usar amplificadores somadores (tipicamente somador inversor) e amplificadores diferenciais (subtratores / diferenciais).

Passo 2

Estratégia geral — como transformar o pedido em blocos que conhecemos.
  • Uma forma simples e didática de obter v_{o}=4 v_{1}+6 v_{2}-3 v_{3}-5 v_{4} é escrever
v_{o} = (4 v_{1}+6 v_{2}) - (3 v_{3}+5 v_{4}).
  • Assim precisamos de dois somadores que gerem as somas positivas V_{P}=4 v_{1}+6 v_{2}, \qquad V_{N}=3 v_{3}+5 v_{4},e então um amplificador diferencial que faça v_{o}=V_{P}-V_{N}.
  • Como o somador mais comum com op-amp é o somador inversor (saída negativa da soma dos termos), vamos usar somadores inversores seguidos de inversores unity-gain para obter os sinais positivos V_{P} e V_{N}. Finalmente usamos um amplificador diferencial (subtrator) com ganho unitário para fazer V_{P}-V_{N}.
  • Escolhi esse método porque usa blocos padrões (somador inversor, inversor unity, diferencial) e facilita o ajuste dos coeficientes por escolha de resistores.

Passo 3

Relembrando fundamentos: equação do somador inversor e do inversor unity-gain.
  • Somador inversor com feedback R_f e resistores de entrada R_{i} (cada entrada v_i tem um resistor R_{i} ao nó inversor) tem a saída
v_{out} = -R_f\sum_{i}\frac{v_i}{R_{i}}.
Explicando: o nó inversor fica virtualmente em 0 (terra virtual) e as correntes pelos resistores de entrada somam no nó e passam por R_f, produzindo a tensão de saída proporcional à soma ponderada, com sinal negativo.
  • Inversor unity-gain (amplificador com ganho -1) é obtido com R_{in}=R_{f} e tem saída
v_{out} = -v_{in}.
  • Amplificador diferencial (subtrator) na configuração clássica com resistores iguais R (ou com as razões apropriadas) tem saída
v_{out} = \frac{R_2}{R_1}\,(v_{+}-v_{-}).
Particularmente, se os quatro resistores do diferencial são iguais, obtemos ganho unitário e
v_{out}=v_{+}-v_{-}.

Passo 4

Projeto do primeiro somador (para 4 v_{1}+6 v_{2}) — usar somador inversor + inversor.
  • Desejamos primeiro um bloco que produza
V_{P}=4 v_{1}+6 v_{2}.
  • Montagem escolhida:
    1. Somador inversor A1 com saída V_{A1} = -(4 v_{1}+6 v_{2}).
    2. Inversor unity A3 que inverte V_{A1} para obter V_{P}= -V_{A1}=4 v_{1}+6 v_{2}.
  • Para A1, use a resistência de realimentação R_{f1} e resistores de entrada R_{11} (para v_1) e R_{12} (para v_2). Queremos
V_{A1} = -R_{f1}\Big(\frac{v_{1}}{R_{11}}+\frac{v_{2}}{R_{12}}\Big) = -(4 v_{1}+6 v_{2}).
Igualando coeficientes obtemos as condições
\frac{R_{f1}}{R_{11}}=4,\qquad \frac{R_{f1}}{R_{12}}=6.
  • Escolha prática de valores (qualquer conjunto com essas razões serve). Por exemplo:
    • R_{f1}=60\\ \text{k}\Omega,
    • R_{11}=15\\ \text{k}\Omega (pois 60/15=4),
    • R_{12}=10\\ \text{k}\Omega (pois 60/10=6).
  • Em seguida o inversor unity A3: use R_{in3}=R_{f3}=10\\ \text{k}\Omega para obter V_{P}=-V_{A1}.

Passo 5

Projeto do segundo somador (para 3 v_{3}+5 v_{4}) — análogo ao anterior.
  • Desejamos
V_{N}=3 v_{3}+5 v_{4}.
  • Montagem escolhida:
    1. Somador inversor A2 com saída V_{A2}=-(3 v_{3}+5 v_{4}).
    2. Inversor unity A4 que produz V_{N}=-V_{A2}=3 v_{3}+5 v_{4}.
  • Para A2, com R_{f2}, R_{21} (para v_3) e R_{22} (para v_4), querermos
V_{A2} = -R_{f2}\Big(\frac{v_{3}}{R_{21}}+\frac{v_{4}}{R_{22}}\Big) = -(3 v_{3}+5 v_{4}).
Logo
\frac{R_{f2}}{R_{21}}=3,\qquad \frac{R_{f2}}{R_{22}}=5.
  • Exemplo de valores práticos (mantendo resistências em faixas usuais):
    • R_{f2}=150\\ \text{k}\Omega,
    • R_{21}=50\\ \text{k}\Omega (pois 150/50=3),
    • R_{22}=30\\ \text{k}\Omega (pois 150/30=5).
    • Em seguida o inversor unity A4: R_{in4}=R_{f4}=10\\ \text{k}\Omega (ou qualquer par igual) para inverter V_{A2}.

Passo 6

Projeto do amplificador diferencial final que calcula v_{o}=V_{P}-V_{N}.
  • Agora temos dois sinais prontos:
    • V_{P}=4 v_{1}+6 v_{2} (do bloco A3),
    • V_{N}=3 v_{3}+5 v_{4} (do bloco A4).
  • Usamos um amplificador diferencial (subtrator) com ganho unitário para obter
v_{o}=V_{P}-V_{N}.
  • Configuração clássica: quatro resistores iguais R_a no circuito do diferencial (dois em cada braço). Se todos iguais, resultado é ganho unitário. Então escolha por exemplo R_a=10\\ \text{k}\Omega para todos os quatro resistores do diferencial.
  • Assim, com resistores iguais, o diferencial entrega
v_{o}=V_{P}-V_{N}=(4 v_{1}+6 v_{2})-(3 v_{3}+5 v_{4}),
que é exatamente a expressão desejada.

Passo 7

Verificação algébrica final montando todos os blocos.
  • A1 produz V_{A1}=-(4 v_{1}+6 v_{2}). A3 inverte: V_{P}=4 v_{1}+6 v_{2}.
  • A2 produz V_{A2}=-(3 v_{3}+5 v_{4}). A4 inverte: V_{N}=3 v_{3}+5 v_{4}.
  • O diferencial com ganho unitário dá
v_{o}=V_{P}-V_{N}=(4 v_{1}+6 v_{2})-(3 v_{3}+5 v_{4})=4 v_{1}+6 v_{2}-3 v_{3}-5 v_{4}.
  • Portanto a cadeia de blocos realiza exatamente a combinação linear pedida.

Passo 8

Resumo prático do circuito (lista de blocos e valores de resistores sugeridos).
  • Bloco A1: somador inversor para 4 v_{1}+6 v_{2}.
    • R_{f1}=60\\ \text{k}\Omega,
    • R_{11}=15\\ \text{k}\Omega conectado a v_{1},
    • R_{12}=10\\ \text{k}\Omega conectado a v_{2}.
    • Saída V_{A1}=-(4 v_{1}+6 v_{2}).
  • Bloco A3: inversor unity para obter V_{P}.
    • R_{in3}=R_{f3}=10\\ \text{k}\Omega,
    • Entrada em V_{A1}, saída V_{P}=4 v_{1}+6 v_{2}.
  • Bloco A2: somador inversor para 3 v_{3}+5 v_{4}.
    • R_{f2}=150\\ \text{k}\Omega,
    • R_{21}=50\\ \text{k}\Omega conectado a v_{3},
    • R_{22}=30\\ \text{k}\Omega conectado a v_{4}.
    • Saída V_{A2}=-(3 v_{3}+5 v_{4}).
  • Bloco A4: inversor unity para obter V_{N}.
    • R_{in4}=R_{f4}=10\\ \text{k}\Omega,
    • Entrada em V_{A2}, saída V_{N}=3 v_{3}+5 v_{4}.
  • Bloco A5: amplificador diferencial com ganho unitário.
    • Quatro resistores iguais R_a=10\\ \text{k}\Omega,
    • Entradas V_{P} e V_{N} nas entradas apropriadas do subtrator,
    • Saída v_{o}=V_{P}-V_{N}=4 v_{1}+6 v_{2}-3 v_{3}-5 v_{4}.
Observação final e dica de prova: se na prova quiseres reduzir etapas, dá para combinar sinais invertidos e usar menos inversores escolhendo sinais e polaridades com cuidado; aqui eu delineei um projeto claro e modular (dois somadores + duas inversões + diferencial) que é fácil de justificar e de montar, e os valores escolhidos são só exemplos que respeitam as razões necessárias entre resistores. Mantém as razões exatas para garantir os ganhos pedidos.

Resposta

Use dois somadores inversores seguidos de inversores unity para obter
V_{P}=4v_{1}+6v_{2},\qquad V_{N}=3v_{3}+5v_{4},
e em seguida um amplificador diferencial com ganho unitário para obter
v_{o}=V_{P}-V_{N}=4v_{1}+6v_{2}-3v_{3}-5v_{4}.
Exemplo de valores práticos:
  • Somador A1: R_{f1}=60\\ \text{k}\Omega,\;R_{11}=15\\ \text{k}\Omega (em v_1), R_{12}=10\\ \text{k}\Omega (em v_2).
  • Inversor A3: R_{in3}=R_{f3}=10\\ \text{k}\Omega.
  • Somador A2: R_{f2}=150\\ \text{k}\Omega,\;R_{21}=50\\ \text{k}\Omega (em v_3), R_{22}=30\\ \text{k}\Omega (em v_4).
  • Inversor A4: R_{in4}=R_{f4}=10\\ \text{k}\Omega.
  • Diferencial A5: quatro resistores iguais R_a=10\\ \text{k}\Omega (ganho unitário).

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