Ex 8 Faça o projeto de um circuito somador que seja capaz de gerar v_{o}=2 v_{i 1}+5 v_{i 2}-10 v_{i 3}. Utilize circuitos somadores e/ou amplificadores inversores e não inversores. Procure manter as impedâncias de entrada Z_{i k} maiores que 10 \mathrm{k} \Omega.
Resp. Este exercício não tem resposta única.

Passo 1

O problema pede projetar um circuito somador que gere
v_{o}=2\,v_{i1}+5\,v_{i2}-10\,v_{i3},
usando somadores e/ou amplificadores inversores e não inversores. Além disso é obrigatório manter as impedâncias de entrada Z_{ik} maiores que 10\\ \text{k}\Omega. Não há outra restrição explícita (por exemplo, não foi pedido usar apenas um CI, nem valores de alimentação), e a resposta não é única.
Dados relevantes:
  • Entradas: v_{i1}, v_{i2}, v_{i3}.
  • Saída desejada: v_{o}=2\,v_{i1}+5\,v_{i2}-10\,v_{i3}.
  • Condição de projeto: impedâncias de entrada >10\\ \text{k}\Omega.
  • Uso permitido: amplificadores inversores e não inversores e somadores.

Passo 2

Escolha do método (explicação curta — depois explico a teoria):
  • É conveniente montar “blocos” que gerem sinais escalonados e com o sinal apropriado, e depois somar esses sinais com um somador (inversor) final. Isso facilita controlar os sinais positivos e negativos.
  • Vou usar três pré-amplificadores (dois inversores para gerar -2\,v_{i1} e -5\,v_{i2} e um amplificador não inversor para gerar +10\,v_{i3}) e depois um somador inversor com ganho unity que inverte a soma desses três sinais. Assim:
    • Etapa 1 (pré): gerar s_1=-2\,v_{i1}, s_2=-5\,v_{i2}, s_3=+10\,v_{i3}.
    • Etapa 2 (somador inversor): v_o=-(s_1+s_2+s_3)=2\,v_{i1}+5\,v_{i2}-10\,v_{i3}.
  • Motivo da escolha: mantém entrada direta com impedâncias controláveis (>10 kΩ) e usa apenas blocos básicos (inversor, não inversor, somador), fáceis de analisar e montar em prova.

Passo 3

Relações matemáticas dos blocos (aula curta sobre fórmulas usadas):
  • Amplificador inversor: se um op-amp tem resistor de entrada R_{in} e resistor de realimentação R_f, o ganho é \text{ganho}_{inv} = -\frac{R_f}{R_{in}}.Aqui a impedância vista pela fonte na entrada é Z_{in}=R_{in} (importante para a restrição >10\\ \text{k}\Omega).
  • Amplificador não inversor: com resistência entre saída e entrada inversora R_f e resistência entre entrada inversora e terra R_g, o ganho é \text{ganho}_{ninv} = 1+\frac{R_f}{R_g}.A impedância de entrada na entrada não inversora é muito alta (tipicamente a impedância de entrada do op-amp), portanto atende facilmente a >10\\ \text{k}\Omega.
  • Somador inversor (múltiplas entradas): para entradas s_1,s_2,\dots através de resistores R_{1},R_{2},\dots em um op-amp com resistor de feedback R_F, a saída é v_o = -R_F\left(\frac{s_1}{R_1}+\frac{s_2}{R_2}+\cdots\right).Se escolhermos R_F=R_1=R_2=\cdots, a soma fica v_o=-(s_1+s_2+\cdots).
Agora aplicamos essas fórmulas ao problema:
  • Queremos v_o=2v_{i1}+5v_{i2}-10v_{i3}.
  • Se chamarmos os sinais de saída dos pré-amplificadores de s_1,s_2,s_3 e o somador for um inversor unity, então precisamos que s_1+s_2+s_3 = -v_o = -2v_{i1}-5v_{i2}+10v_{i3}.Uma escolha óbvia é s_1=-2v_{i1},\qquad s_2=-5v_{i2},\qquad s_3=+10v_{i3}.
  • Portanto projetamos:
    • Pré1: inversor com ganho -2.
    • Pré2: inversor com ganho -5.
    • Pré3: não inversor com ganho +10.
    • Somador final: inversor com ganhos de entrada iguais e R_F escolhido igual a essas resistências, para que o fator de somatório seja unity.

Passo 4

Escolha de valores práticos (garantindo Z_{ik}>10\\ \text{k}\Omega) e verificação dos cálculos:
  • Pré-amplificador 1 (gera s_1=-2\,v_{i1}):
    • Use R_{in1}=20\\ \text{k}\Omega e R_{f1}=40\\ \text{k}\Omega.
    • Ganho: \displaystyle -\frac{R_{f1}}{R_{in1}}=-\frac{40\text{k}}{20\text{k}}=-2.
    • Impedância na entrada v_{i1}: Z_{i1}=R_{in1}=20\\ \text{k}\Omega>10\\ \text{k}\Omega.
  • Pré-amplificador 2 (gera s_2=-5\,v_{i2}):
    • Use R_{in2}=20\\ \text{k}\Omega e R_{f2}=100\\ \text{k}\Omega.
    • Ganho: -\dfrac{100\text{k}}{20\text{k}}=-5.
    • Impedância na entrada v_{i2}: Z_{i2}=R_{in2}=20\\ \text{k}\Omega>10\\ \text{k}\Omega.
  • Pré-amplificador 3 (gera s_3=+10\,v_{i3}): escolha não inversor
    • Desejamos 1+\dfrac{R_{f3}}{R_{g3}}=10\Rightarrow \dfrac{R_{f3}}{R_{g3}}=9.
    • Use R_{g3}=10\\ \text{k}\Omega e R_{f3}=90\\ \text{k}\Omega.
    • Ganho: 1+\dfrac{90\text{k}}{10\text{k}}=10.
    • Impedância de entrada vista por v_{i3} é muito alta (entrada não inversora do op-amp), então Z_{i3}\gg10\\ \text{k}\Omega.
  • Somador inversor final (soma s_1,s_2,s_3 e inverte):
    • Para que v_o=-(s_1+s_2+s_3), escolha resistores de entrada iguais R_{s1}=R_{s2}=R_{s3}=100\\ \text{k}\Omega e feedback R_{F}=100\\ \text{k}\Omega.
    • Fórmula: \displaystyle v_o = -R_F\left(\frac{s_1}{R_{s1}}+\frac{s_2}{R_{s2}}+\frac{s_3}{R_{s3}}\right)=-(s_1+s_2+s_3).
  • Verificação algebraica completa: \begin{aligned} s_1&=-2v_{i1},\quad s_2=-5v_{i2},\quad s_3=+10v_{i3},\\\ v_o&=-(s_1+s_2+s_3)=-(-2v_{i1}-5v_{i2}+10v_{i3})\\\ &=2v_{i1}+5v_{i2}-10v_{i3}, \end{aligned}que é exatamente o desejado.

Passo 5

Conexões práticas e observações de projeto:
  • Blocos e ligações:
    • Op-amp A1 (inversor): entrada v_{i1} pela resistência R_{in1}=20\\ \text{k}\Omega ao terminal inversor; feedback R_{f1}=40\\ \text{k}\Omega da saída de A1 ao inversor; o terminal não inversor de A1 a terra. Saída de A1 é s_1.
    • Op-amp A2 (inversor): entrada v_{i2} por R_{in2}=20\\ \text{k}\Omega; feedback R_{f2}=100\\ \text{k}\Omega; saída de A2 é s_2.
    • Op-amp A3 (não inversor): entrada v_{i3} na entrada não inversora; resistores R_{g3}=10\\ \text{k}\Omega (do inversor ao terra) e R_{f3}=90\\ \text{k}\Omega (da saída ao inversor) para ganho 10; saída de A3 é s_3.
    • Op-amp A4 (somador inversor final): entradas s_1,s_2,s_3 cada uma através de R_{s1}=R_{s2}=R_{s3}=100\\ \text{k}\Omega ao terminal inversor; feedback R_F=100\\ \text{k}\Omega da saída de A4 ao inversor; terminal não inversor de A4 a terra. Saída de A4 é v_o.
  • Alimentação: usar alimentações simétricas apropriadas ao op-amp escolhido (por exemplo \pm12\\ \text{V} ou \pm15\\ \text{V}), e op-amps que suportem os níveis de saída e as resistências escolhidas.
  • Observações sobre impedância: as entradas legítimas do problema (as fontes v_{i1},v_{i2},v_{i3}) “veem” impedâncias 20\\ \text{k}\Omega, 20\\ \text{k}\Omega e muito grande ( \gg10\\ \text{k}\Omega), respectivamente — todas maiores que 10\\ \text{k}\Omega, conforme pedido.
  • Se quiser reduzir ruído ou obter maior precisão, pode escolher valores padronizados próximos (ex.: 18k/36k etc.) ou resistores de 1% e usar capacitores de compensação se necessário. Para prova, os valores acima servem como projeto claro e verificável.

Passo 6

Resumo de checagens rápidas (para garantir que dá para vender na prova):
  • As fórmulas usadas foram as do amplificador inversor e não inversor e do somador inversor — todas deduções mostradas.
  • Impedâncias de entrada >10\\ \text{k}\Omega verificadas.
  • Cálculo final mostra que a combinação dá exatamente \;v_{o}=2v_{i1}+5v_{i2}-10v_{i3}.

Resposta

Projeto proposto (uma solução possível):
  • Pré-amplificador para v_{i1}: amplificador inversor com R_{in1}=20\\ \text{k}\Omega, R_{f1}=40\\ \text{k}\Omega (ganho -2), saída s_1.
  • Pré-amplificador para v_{i2}: amplificador inversor com R_{in2}=20\\ \text{k}\Omega, R_{f2}=100\\ \text{k}\Omega (ganho -5), saída s_2.
  • Pré-amplificador para v_{i3}: amplificador não inversor com R_{g3}=10\\ \text{k}\Omega, R_{f3}=90\\ \text{k}\Omega (ganho +10), saída s_3.
  • Somador inversor final: entradas s_1,s_2,s_3 por R_{s1}=R_{s2}=R_{s3}=100\\ \text{k}\Omega e feedback R_F=100\\ \text{k}\Omega, produzindo
v_o=-(s_1+s_2+s_3)=2v_{i1}+5v_{i2}-10v_{i3}.

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