Ex 3 Usando valores comerciais de resistores de 5 \% de precisão da tabela a seguir, projete um amplificador inversor cujo ganho nominal em malha fechada seja A=-18 \mathrm{~V} / \mathrm{V}. A impedância de entrada deve ser superior a 11 \mathrm{k} \Omega para evitar efeitos de carga na fonte. Escolha valores de resistores menores que 500 \mathrm{k} \Omega.
Table 1: Tabela 1: Valores comerciais de resistores 5 \%. Na tabela a unidade R significa \Omega, k significa \mathrm{k} \Omega e M significa \mathrm{M} \Omega. A unidade também mostra a posição do ponto decimal: 3R6 significa 3.6 \Omega e 1k5 significa 1.5 \Omega.
\captionsetup{labelformat=empty}
10R 100 R 1k 10k 100k 1 M 10 M
11R 110 R 1k1 11k 110k 1M1 11 M
12 R 120 R 1k2 12k 120k 1M2 12 M
13 R 130 R 1k3 13k 130k 1M3 13 M
15R 150 R 1k5 15k 150k 1M5 15 M
16 R 160 R 1k6 16k 160k 1M6 16 M
18 R 180 R 1k8 18k 180k 1M8 18 M
20 R 200 R 2k 20k 200k 2 M 20 M
22 R 220 R 2k2 22k 220k 2M2 22 M
24R 240 R 2k4 24 k 240k 2M4
27R 270 R 2k7 27k 270k 2M7
30 R 300 R 3k 30k 300k 3M
33R 330 R 3k3 33k 330k 3M3
36R 360 R 3k6 36k 360k 3M6
39R 390 R 3k9 39k 390k 3M9
43R 430 R 4k3 43k 430k 4M3
47R 470 R 4k7 47k 470k 4M7
51R 510R 5k1 51k 510k 5M1
56R 560 R 5k6 56k 560k 5M6
62 R 620 R 6k2 62k 620k 6M2
68R 680 R 6k8 68k 680k 6M8
75 R 750 R 7k5 75k 750k 7M5
82R 820 R 8k2 82k 820k 8M2
91R 910R 9k1 91k 910k 9M1
Resp. Opções válidas: \left[R_{1}=15 \mathrm{k} \Omega\right. e \left.R_{2}=270 \mathrm{k} \Omega\right] ou \left[R_{1}=20 \mathrm{k} \Omega\right. e \left.R_{2}=360 \mathrm{k} \Omega\right]

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o problema pede e quais dados foram fornecidos.
  • O enunciado pede projetar um amplificador inversor com ganho nominal em malha fechada igual a A=-18\\ \mathrm{V/V}.
  • A impedância de entrada do amplificador deve ser maior que 11\\ \mathrm{k}\Omega.
  • Todos os resistores escolhidos devem ter valor menor que 500\\ \mathrm{k}\Omega.
  • Deve-se usar valores comerciais de resistores de 5\% da tabela fornecida (peguei os valores comerciais diretamente da tabela fornecida no enunciado).
  • O circuito é o amplificador operacional em configuração inversora padrão (um resistor entre fonte e entrada inversora, e um resistor de realimentação entre saída e entrada inversora).
Perguntas implícitas que vamos responder: escolher R_1 (resistor de entrada) e R_2 (resistor de realimentação) entre os valores comerciais, de modo que o ganho nominal seja -18, que R_1>11\\ \mathrm{k}\Omega e que todos os resistores sejam <500\\ \mathrm{k}\Omega.

Passo 2

Entender a relação entre R_1, R_2 e o ganho do amplificador inversor (aulas rápidas e intuitivas).
  • No amplificador inversor padrão, o resistor R_1 fica entre a fonte de entrada V_\text{in} e a entrada inversora do op-amp; o resistor R_2 fica entre a saída V_\text{out} e a mesma entrada inversora. A entrada não inversora está ligada a terra.
  • Por causa do conceito de “virtual short” (ou “terra virtual”) numa configuração com realimentação negativa e ganho finito muito grande do op-amp, a tensão no nó da entrada inversora fica aproximadamente igual à tensão no nó da entrada não inversora. Como a entrada não inversora está a 0\\ \mathrm{V}, temos V_-\approx 0\\ \mathrm{V}.
  • Corrente que entra pelo resistor R_1 (da fonte para o nó inversor) é i_1=\dfrac{V_\text{in}-V_-}{R_1}. Como V_-\approx 0, isso vira i_1\approx\dfrac{V_\text{in}}{R_1}.
  • Essa mesma corrente (ignorando a corrente de entrada do op-amp, que é desprezível) deve sair pelo resistor R_2 para a saída: i_2=\dfrac{V_- - V_\text{out}}{R_2}\approx\dfrac{0 - V_\text{out}}{R_2}=-\dfrac{V_\text{out}}{R_2}.
  • Igualando correntes: \dfrac{V_\text{in}}{R_1}=-\dfrac{V_\text{out}}{R_2}. Rearranjando:
\frac{V_\text{out}}{V_\text{in}} = -\frac{R_2}{R_1}.
  • Portanto a expressão fundamental do ganho do amplificador inversor é
A \equiv \frac{V_\text{out}}{V_\text{in}} = -\frac{R_2}{R_1}.
  • Observação sobre impedância de entrada: na configuração inversora, a impedância vista pela fonte de entrada é (aproximadamente) R_1, porque o nó inversor está a potencial virtual de 0\\ \mathrm{V}. Logo, para garantir impedância de entrada >11\\ \mathrm{k}\Omega devemos escolher R_1>11\\ \mathrm{k}\Omega.

Passo 3

Aplicar as especificações numéricas e as restrições do problema.
  • O objetivo é ter A=-18. Usando a fórmula do passo anterior:
-18 = -\frac{R_2}{R_1}\quad\Rightarrow\quad \frac{R_2}{R_1}=18.
  • Logo a relação desejada é
R_2 = 18\;R_1.
  • Restrições adicionais:
    • R_1>11\\ \mathrm{k}\Omega (impedância de entrada).
    • Escolher R_1 e R_2 entre os valores comerciais da tabela de 5\% (peguei esses valores da tabela fornecida).
    • Cada resistor escolhido deve ser <500\\ \mathrm{k}\Omega. Em particular R_2<500\\ \mathrm{k}\Omega.

Passo 4

Procurar valores comerciais que satisfaçam R_2=18 R_1 com R_1>11\\ \mathrm{k}\Omega e R_2<500\\ \mathrm{k}\Omega.
  • Lista rápida de valores comerciais da tabela (apenas alguns relevantes acima de 11\\ \mathrm{k}\Omega): 12\\ \mathrm{k}\Omega,\\\ 13\\ \mathrm{k}\Omega,\\\ 15\\ \mathrm{k}\Omega,\\\ 16\\ \mathrm{k}\Omega,\\\ 18\\ \mathrm{k}\Omega,\\\ 20\\ \mathrm{k}\Omega,\\\ 22\\ \mathrm{k}\Omega,\\\ 24\\ \mathrm{k}\Omega,\\\ 27\\ \mathrm{k}\Omega,\\\ 30\\ \mathrm{k}\Omega,\\ \ldots (valores tomados da tabela).
  • Para cada candidato R_1 calculamos R_2 = 18 R_1 e verificamos se esse R_2 está na lista da tabela e é <500\\ \mathrm{k}\Omega.
Exemplos que valem a pena verificar:
  • Se escolher R_1=15\\ \mathrm{k}\Omega (valor da tabela), então
R_2 = 18\times 15\\ \mathrm{k}\Omega = 270\\ \mathrm{k}\Omega.
Verifiquei na tabela: 270\\ \mathrm{k}\Omega está presente (peguei o valor na tabela) e é menor que 500\\ \mathrm{k}\Omega. Além disso R_1=15\\ \mathrm{k}\Omega>11\\ \mathrm{k}\Omega. Portanto o par \{15\\ \mathrm{k}\Omega,\\\ 270\\ \mathrm{k}\Omega\} satisfaz todas as restrições e dá ganho nominal exatamente -18.
  • Se escolher R_1=20\\ \mathrm{k}\Omega (valor da tabela), então
R_2 = 18\times 20\\ \mathrm{k}\Omega = 360\\ \mathrm{k}\Omega.
Verifiquei na tabela: 360\\ \mathrm{k}\Omega está presente e é <500\\ \mathrm{k}\Omega. Além disso R_1=20\\ \mathrm{k}\Omega>11\\ \mathrm{k}\Omega. Portanto o par \{20\\ \mathrm{k}\Omega,\\\ 360\\ \mathrm{k}\Omega\} também satisfaz todas as restrições e dá ganho nominal exatamente -18.
  • (Comentário rápido: há outros R_1 possíveis, por exemplo R_1=12\\ \mathrm{k}\Omega exigiria R_2=216\\ \mathrm{k}\Omega; a tabela tem 220\\ \mathrm{k}\Omega mas não 216\\ \mathrm{k}\Omega, portanto esse não é um par exato. Como a tabela e a condição pedem valores comerciais exatos, preferimos pares que resultem em R_2 exatamente presentes na tabela.)

Passo 5

Verificações finais e cálculo do ganho nominal para os pares encontrados.
  • Para o par R_1=15\\ \mathrm{k}\Omega,\\ R_2=270\\ \mathrm{k}\Omega:
A = -\frac{R_2}{R_1} = -\frac{270\\ \mathrm{k}\Omega}{15\\ \mathrm{k}\Omega} = -18.
A impedância de entrada é R_1=15\\ \mathrm{k}\Omega>11\\ \mathrm{k}\Omega. Ambos os resistores são <500\\ \mathrm{k}\Omega. Valores confirmados na tabela.
  • Para o par R_1=20\\ \mathrm{k}\Omega,\\ R_2=360\\ \mathrm{k}\Omega:
A = -\frac{R_2}{R_1} = -\frac{360\\ \mathrm{k}\Omega}{20\\ \mathrm{k}\Omega} = -18.
A impedância de entrada é R_1=20\\ \mathrm{k}\Omega>11\\ \mathrm{k}\Omega. Ambos os resistores são <500\\ \mathrm{k}\Omega. Valores confirmados na tabela.

Passo 6

Observações práticas sobre tolerância dos resistores ( 5\%) e precisão do ganho, e dicas rápidas para a prova.
  • Como os resistores são de 5\%, o ganho real pode variar porque R_1 e R_2 variam até \pm5\%. Para estimar variação extrema do ganho (caso útil na prova), considere o caso pior: R_2 no máximo e R_1 no mínimo (maior ganho) e R_2 no mínimo e R_1 no máximo (menor ganho).
Exemplo numérico (qualquer um dos pares tem a mesma variação relativa):
R_1 = 15\\ \mathrm{k}\Omega \Rightarrow R_{1,\min}=15(0{,}95)=14{,}25\\ \mathrm{k}\Omega,\quad R_{1,\max}=15(1{,}05)=15{,}75\\ \mathrm{k}\Omega,
R_2 = 270\\ \mathrm{k}\Omega \Rightarrow R_{2,\min}=270(0{,}95)=256{,}5\\ \mathrm{k}\Omega,\quad R_{2,\max}=270(1{,}05)=283{,}5\\ \mathrm{k}\Omega.
Ganho mínimo possível (pior caso) aproximado:
A_{\min}\approx -\frac{R_{2,\min}}{R_{1,\max}} \approx -\frac{256{,}5}{15{,}75}\approx -16{,}29.
Ganho máximo possível:
A_{\max}\approx -\frac{R_{2,\max}}{R_{1,\min}} \approx -\frac{283{,}5}{14{,}25}\approx -19{,}89.
Então a variação pode ser aproximadamente de -16{,}29 a -19{,}89, isto é, cerca de -9{,}5\% a +10{,}5\% em relação a -18. Isso é consequência direta da tolerância de 5\% dos resistores e é bom mencionar na prova se pedirem análise de sensibilidade.
  • Se for necessário ganho mais preciso na prática (ou pedido na prova), usar resistores com tolerância 1\% ou usar um trimpot para ajustar o ganho são soluções típicas.

Resposta

R_{1}=15\\ \mathrm{k}\Omega,\\ R_{2}=270\\ \mathrm{k}\Omega
R_{1}=20\\ \mathrm{k}\Omega,\\ R_{2}=360\\ \mathrm{k}\Omega

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