Projete um eixo de aço maciço para transmitir 100 hp a 1200 rpm , se a tensão de cisalhamento máxima não deve exceder 7500 psi.

Passo 1

O enunciado pede projetar um eixo maciço de aço que transmita potência e respeite uma tensão de cisalhamento máxima admissível. Dados fornecidos:
P = 100\\ \text{hp}
n = 1200\\ \text{rpm}
\tau_{\text{adm}} = 7500\\ \text{psi}
Pergunta a responder: qual o diâmetro mínimo do eixo maciço (e uma sugestão prática de diâmetro comercial) de modo que a tensão de cisalhamento máxima não exceda \tau_{\text{adm}}.

Passo 2

Calcular o torque transmitido pelo eixo. Conceito rápido: potência é produto do torque pela velocidade angular. A fórmula prática que relaciona potência em cavalos-vapor, torque em lbf·ft e rotação em rpm é
T\\ (\text{lbf}\cdot\text{ft})=\frac{5252\,P\\ (\text{hp})}{n\\ (\text{rpm})},
onde 5252 vem da conversão entre unidades (explicação curta: 1\\ \text{hp}=550\\ \text{ft}\cdot\text{lbf}/\text{s} e \omega=2\pi n/60). Substituindo:
T=\frac{5252\cdot100}{1200}=437{,}666\ldots\\ \text{lbf}\cdot\text{ft}.
Converto para lbf·in (já que \tau está em psi = lbf/in ^2):
T=437{,}666\ldots\cdot12=5252\\ \text{lbf}\cdot\text{in}.

Passo 3

Apresentar a relação tensão de cisalhamento máxima para eixo circular maciço em torção. Teoria (explicada): para um eixo circular sólido submetido a torque T, a tensão de cisalhamento máxima na superfície (em r = c) é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde c é o raio do eixo e J é o momento polar de inércia da seção. Para seção circular sólida:
c=\frac{d}{2},\qquad J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
Substituindo c e J na expressão de \tau_{\max} obtemos a fórmula usada frequentemente:
\tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Aqui \tau_{\max} em psi se T está em lbf·in e d em in.

Passo 4

Determinar o diâmetro d exigido impondo \tau_{\max}\le \tau_{\text{adm}}. Rearranjando a fórmula:
d^{3}=\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\text{adm}}}
d=\sqrt[3]{\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\text{adm}}}}.
Substituindo T=5252\\ \text{lbf}\cdot\text{in} e \tau_{\text{adm}}=7500\\ \text{psi}:
d^{3}=\frac{16\cdot5252}{\pi\cdot7500}=\frac{84032}{\pi\cdot7500}\approx3{,}5650
d=\sqrt[3]{3{,}5650}\approx1{,}527\\ \text{in}.
Comentário didático sobre a raiz cúbica: pode-se estimar \sqrt[3]{3{,}5650} sabendo que 1{,}5^{3}=3{,}375 e 1{,}53^{3}\approx3{,}587; assim o resultado fica próximo de 1{,}527\\ \text{in}.

Passo 5

Verificação e escolha comercial. Verifico rapidamente a tensão obtida com d=1{,}527\\ \text{in} (checa de arredondamento):
\tau=\frac{16\cdot5252}{\pi\cdot(1{,}527)^{3}}\approx7500\\ \text{psi},
ou seja, esse é o diâmetro mínimo teórico. Na prática escolhe-se um diâmetro comercial maior para segurança e facilidade de usinagem. Por exemplo, adotando d=1{,}625\\ \text{in} ( 1\frac{5}{8}\\ \text{in} ), calculo a tensão real:
d^{3}=(1{,}625)^{3}\approx4{,}291
\tau=\frac{16\cdot5252}{\pi\cdot4{,}291}\approx6232\\ \text{psi},
que é bem menor que \tau_{\text{adm}}=7500\\ \text{psi}, portanto seguro.

Resposta

Diâmetro mínimo teórico: d_{\min}=1,53\\ \text{in}.
Diâmetro comercial recomendado: d=1,625\\ \text{in} ( 1\tfrac{5}{8}\\ \text{in} ).

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