A pergunta é: qual é a amplitude do deslocamento x(t) nessas condições (amplitude em metros)?
Passo 2
Por que podemos buscar uma solução harmônica? O lado direito da equação é somado de termos harmônicos com frequência \omega_{b} (seno e cosseno). Em regime estacionário a resposta forçada x(t) também será harmônica com a mesma frequência \omega_{b}. Ou seja, podemos procurar uma solução particular do tipo harmônico e determinar sua amplitude. Uma forma prática é usar a representação complexa (método dos fasores), que transforma derivadas em multiplicação por i\omega_{b}, reduzindo a EDO a uma equação algébrica para a amplitude complexa.
Passo 3
Representamos a movimentação da base por uma exponencial complexa \;Y e^{i\omega_{b}t}\; (no final tomamos a parte real). Substituindo formas x(t)=\Re\{X e^{i\omega_{b}t}\} e y(t)=\Re\{Y e^{i\omega_{b}t}\} na equação e usando \dfrac{d}{dt}e^{i\omega_{b}t}=i\omega_{b}e^{i\omega_{b}t} obtemos, em termos das amplitudes complexas,
\left(-m\omega_{b}^{2}+i c \omega_{b}+k\right)X=\left(i c \omega_{b}+k\right)Y.
Aqui X é a amplitude complexa de x(t); a mão direita vem da combinação dos termos de excitação por deslocamento de base (pegamos o mesmo que aparece no enunciado).
Passo 4
Isolando X obtemos a função de resposta complexa:
X=\frac{i c \omega_{b}+k}{\,k-m\omega_{b}^{2}+i c \omega_{b}\,}\;Y.
A amplitude (valor absoluto) da resposta é
|X|=\frac{|i c \omega_{b}+k|}{\big|k-m\omega_{b}^{2}+i c \omega_{b}\big|}\;Y.
Explicação rápida: o módulo de um número complexo a+ib é \sqrt{a^{2}+b^{2}}. Aqui, no numerador o parte real é k e a imaginária é c\omega_{b}; no denominador a parte real é k-m\omega_{b}^{2} e a imaginária é c\omega_{b}.
Passo 5
Agora calculamos cada termo numérico passo a passo. Primeiro calculemos c\omega_{b}:
c\omega_{b}=50\cdot 30=1500.
Passo 6
Magnitude do numerador:
|i c \omega_{b}+k|=\sqrt{k^{2}+(c\omega_{b})^{2}}=\sqrt{1000^{2}+1500^{2}}=\sqrt{1{,}000{,}000+2{,}250{,}000}=\sqrt{3{,}250{,}000}.