Um sistema sujeito a excitação de base é descrito pela equação:
m \ddot{x}+c \dot{x}+k x=c Y \omega_{b} \cos \left(\omega_{b} t\right)+k Y \sin \left(\omega_{b} t\right)
Sendo m=100 \mathrm{~kg}, \mathrm{k}=1000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, c=50 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}, Y=0,1 \mathrm{me} \omega_{b}=30 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Calcule a amplitude do deslocamento nestas condições.

Passo 1

O enunciado pede a amplitude do deslocamento em regime harmônico estacionário para o sistema descrito por
m \ddot{x}+c \dot{x}+k x=c Y \omega_{b} \cos \left(\omega_{b} t\right)+k Y \sin \left(\omega_{b} t\right).
Os dados fornecidos são:
m=100\\ \mathrm{kg},\quad k=1000\\ \mathrm{N/m},\quad c=50\\ \mathrm{N\cdot s/m},
Y=0,1\\ \mathrm{m},\quad \omega_{b}=30\\ \mathrm{rad/s}.
A pergunta é: qual é a amplitude do deslocamento x(t) nessas condições (amplitude em metros)?

Passo 2

Por que podemos buscar uma solução harmônica? O lado direito da equação é somado de termos harmônicos com frequência \omega_{b} (seno e cosseno). Em regime estacionário a resposta forçada x(t) também será harmônica com a mesma frequência \omega_{b}. Ou seja, podemos procurar uma solução particular do tipo harmônico e determinar sua amplitude. Uma forma prática é usar a representação complexa (método dos fasores), que transforma derivadas em multiplicação por i\omega_{b}, reduzindo a EDO a uma equação algébrica para a amplitude complexa.

Passo 3

Representamos a movimentação da base por uma exponencial complexa \;Y e^{i\omega_{b}t}\; (no final tomamos a parte real). Substituindo formas x(t)=\Re\{X e^{i\omega_{b}t}\} e y(t)=\Re\{Y e^{i\omega_{b}t}\} na equação e usando \dfrac{d}{dt}e^{i\omega_{b}t}=i\omega_{b}e^{i\omega_{b}t} obtemos, em termos das amplitudes complexas,
\left(-m\omega_{b}^{2}+i c \omega_{b}+k\right)X=\left(i c \omega_{b}+k\right)Y.
Aqui X é a amplitude complexa de x(t); a mão direita vem da combinação dos termos de excitação por deslocamento de base (pegamos o mesmo que aparece no enunciado).

Passo 4

Isolando X obtemos a função de resposta complexa:
X=\frac{i c \omega_{b}+k}{\,k-m\omega_{b}^{2}+i c \omega_{b}\,}\;Y.
A amplitude (valor absoluto) da resposta é
|X|=\frac{|i c \omega_{b}+k|}{\big|k-m\omega_{b}^{2}+i c \omega_{b}\big|}\;Y.
Explicação rápida: o módulo de um número complexo a+ib é \sqrt{a^{2}+b^{2}}. Aqui, no numerador o parte real é k e a imaginária é c\omega_{b}; no denominador a parte real é k-m\omega_{b}^{2} e a imaginária é c\omega_{b}.

Passo 5

Agora calculamos cada termo numérico passo a passo. Primeiro calculemos c\omega_{b}:
c\omega_{b}=50\cdot 30=1500.

Passo 6

Magnitude do numerador:
|i c \omega_{b}+k|=\sqrt{k^{2}+(c\omega_{b})^{2}}=\sqrt{1000^{2}+1500^{2}}=\sqrt{1{,}000{,}000+2{,}250{,}000}=\sqrt{3{,}250{,}000}.
Calculando:
\sqrt{3{,}250{,}000}\approx 1802,7756.

Passo 7

Magnitude do denominador: a parte real é
k-m\omega_{b}^{2}=1000-100\cdot 30^{2}=1000-100\cdot 900=1000-90{,}000=-89{,}000.
A parte imaginária é c\omega_{b}=1500. Então
\big|k-m\omega_{b}^{2}+i c \omega_{b}\big|=\sqrt{(-89{,}000)^{2}+1500^{2}}=\sqrt{7{,}921{,}000{,}000+2{,}250{,}000}=\sqrt{7{,}923{,}250{,}000}.
Calculando:
\sqrt{7{,}923{,}250{,}000}\approx 89{,}017{,}415.

Passo 8

Agora a razão das magnitudes:
\frac{|i c \omega_{b}+k|}{\big|k-m\omega_{b}^{2}+i c \omega_{b}\big|}=\frac{1802{,}7756}{89{,}017{,}415}\approx 0{,}020252.
Multiplicando por Y=0,1 m:
|X|=0{,}020252\cdot 0{,}1 \approx 0{,}0020252\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Interpretação em milímetros para ficar mais intuitivo:
0{,}0020252\\ \mathrm{m}\approx 2{,}025\\ \mathrm{mm}.
Arredondando de forma prática, amplitude \approx 0{,}00203\\ \mathrm{m} (ou 2{,}03\\ \mathrm{mm}).

Resposta

0,00203\\ \mathrm{m} (aprox. 2,03\\ \mathrm{mm}).

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