Um exemplo comum de vibração de base é um sistema de um grau de liberdade representando a suspensão de um veículo. O pavimento é modelado considerando uma função de deslocamento do tipo
. A rigidez da suspensão tem valor
, o coeficiente de amortecimento é dado por
e a massa de 1007 kg . Determine a amplitude do deslocamento absoluto e do deslocamento relativo do veículo.
Passo 1
O enunciado fornece um sistema de um grau de liberdade com excitação pela base e pede duas coisas: a amplitude do deslocamento absoluto do veículo e a amplitude do deslocamento relativo massa‑carroceria em regime estacionário.
Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
As perguntas são:
- Qual a amplitude do deslocamento relativo
(amplitude de )? - Qual a amplitude do deslocamento absoluto
(amplitude de )?
Passo 2
Montagem do modelo e equação do movimento (passo importante — explico devagarinho).
Considere o deslocamento absoluto da massa e
o deslocamento da base. As forças elástica e viscosa atuam entre massa e base, portanto a equação do movimento em coordenada absoluta é
Considere
Agora definimos o deslocamento relativo
Substituindo
e agrupando termos, a equação para o relativo vira (as velocidades e acelerações de
aparecem do lado direito):
Explicação física curta: a massa vê uma força equivalente à inércia da base
que a “excita” relativamente à base.
Passo 3
Resposta estacionária para excitação harmônica — fórmula e raciocínio.
Como com
e
, temos
. Assim o termo da direita é
. Procuramos solução estacionária do tipo
Como
onde
é a amplitude relativa e
é o defasagem entre a força aplicada e a resposta. Substituindo no equilíbrio complexo ou usando identidades trigonométricas chega-se à fórmula da amplitude relativa:
A fase relativa (útil para juntar com
depois) satisfaz
Explicação das variáveis:
é a massa,
é a amplitude da base,
é a pulsação,
e
são rigidez e amortecimento; o denominador é a magnitude da impedância dinâmica do sistema.
Passo 4
Cálculo passo a passo dos termos numéricos (vou calcular com cuidado e mostrar cada passo):
Primeiro valores básicos:
Primeiro valores básicos:
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
:
Calcule o numerador de
:
Passo 5
Calcule o denominador e obtenha
.
Denominador:
Denominador:
Avaliação numérica (mostrando aproximação):
Agora
Convertendo para milímetros:
Passo 6
Calcule a fase
(precisa para somar os sinais e obter
).
Calcule
(usaremos na soma das amplitudes):
Passo 7
Obtenha a amplitude do deslocamento absoluto
.
Lembre que . Como
e
, a amplitude resultante
da soma harmônica é
Lembre que
Substituindo os números:
Convertendo para milímetros:
Passo 8
Interpretação curta e ânimo: o resultado mostra que a massa praticamente segue o pavimento (amplitude da base
mm), mas a suspensão reduz bastante o deslocamento relativo (menos de
mm). Bom sinal — a suspensão está filtrando bem a excitação da base. Você mandou bem em pedir passo a passo; qualquer dúvida sobre um cálculo específico eu repito com mais detalhes.
Resposta
Amplitude do deslocamento relativo:
(aprox.
).
Amplitude do deslocamento absoluto: (aprox.
).
Amplitude do deslocamento absoluto: