Um exemplo comum de vibração de base é um sistema de um grau de liberdade representando a suspensão de um veículo. O pavimento é modelado considerando uma função de deslocamento do tipo y(t)=0,01 \sin (5,818 t). A rigidez da suspensão tem valor k=4 \times 10^{5} \mathrm{~N} / \mathrm{m}, o coeficiente de amortecimento é dado por c=40 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e a massa de 1007 kg . Determine a amplitude do deslocamento absoluto e do deslocamento relativo do veículo.

Passo 1

O enunciado fornece um sistema de um grau de liberdade com excitação pela base e pede duas coisas: a amplitude do deslocamento absoluto do veículo e a amplitude do deslocamento relativo massa‑carroceria em regime estacionário.
Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
y(t)=0,01\sin(5,818\,t)
m=1007\\ \text{kg}
c=40\times10^{3}\\ \text{kg/s}
k=4\times10^{5}\\ \text{N/m}
As perguntas são:
  • Qual a amplitude do deslocamento relativo Z (amplitude de x(t)-y(t))?
  • Qual a amplitude do deslocamento absoluto X (amplitude de x(t))?

Passo 2

Montagem do modelo e equação do movimento (passo importante — explico devagarinho).
Considere x(t) o deslocamento absoluto da massa e y(t) o deslocamento da base. As forças elástica e viscosa atuam entre massa e base, portanto a equação do movimento em coordenada absoluta é
m\ddot{x}+c(\dot{x}-\dot{y})+k(x-y)=0.
Agora definimos o deslocamento relativo
z(t)=x(t)-y(t).
Substituindo x=z+y e agrupando termos, a equação para o relativo vira (as velocidades e acelerações de y aparecem do lado direito):
m\ddot{z}+c\dot{z}+kz=-m\ddot{y}.
Explicação física curta: a massa vê uma força equivalente à inércia da base -m\ddot{y} que a “excita” relativamente à base.

Passo 3

Resposta estacionária para excitação harmônica — fórmula e raciocínio.
Como y(t)=Y\sin(\omega t) com Y=0,01 e \omega=5,818, temos \ddot{y}=-Y\omega^{2}\sin(\omega t). Assim o termo da direita é mY\omega^{2}\sin(\omega t). Procuramos solução estacionária do tipo
z(t)=Z\sin(\omega t-\varphi),
onde Z é a amplitude relativa e \varphi é o defasagem entre a força aplicada e a resposta. Substituindo no equilíbrio complexo ou usando identidades trigonométricas chega-se à fórmula da amplitude relativa:
Z=\frac{mY\omega^{2}}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(c\omega)^{2}}}.
A fase relativa (útil para juntar com y(t) depois) satisfaz
\tan\varphi=\frac{c\omega}{\,k-m\omega^{2}\,}.
Explicação das variáveis: m é a massa, Y é a amplitude da base, \omega é a pulsação, k e c são rigidez e amortecimento; o denominador é a magnitude da impedância dinâmica do sistema.

Passo 4

Cálculo passo a passo dos termos numéricos (vou calcular com cuidado e mostrar cada passo):
Primeiro valores básicos:
Y=0,01\\ \text{m},\qquad \omega=5,818\\ \text{rad/s}.
Calcule \omega^{2}:
\omega^{2}=(5,818)^{2}=33,849124.
Calcule m\omega^{2}:
m\omega^{2}=1007\cdot33,849124=34\,086,067868.
Calcule k-m\omega^{2}:
k-m\omega^{2}=400\,000-34\,086,067868=365\,913,932132.
Calcule c\omega:
c\omega=40\,000\cdot5,818=232\,720.
Calcule o numerador de Z:
mY\omega^{2}=1007\cdot0,01\cdot33,849124=340,86067868.

Passo 5

Calcule o denominador e obtenha Z.
Denominador:
\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(c\omega)^{2}}=\sqrt{(365\,913,932132)^{2}+(232\,720)^{2}}.
Avaliação numérica (mostrando aproximação):
(365\,913,932132)^{2}\approx133\,893\,005\,632,
(232\,720)^{2}=54\,158\,598\,400,
\text{soma}\approx188\,051\,604\,032,
\sqrt{\dots}\approx433\,671.
Agora
Z=\frac{340,86067868}{433\,671}\approx0,000787\\ \text{m}.
Convertendo para milímetros:
Z\approx0,787\\ \text{mm}.

Passo 6

Calcule a fase \varphi (precisa para somar os sinais e obter X).
\tan\varphi=\frac{c\omega}{k-m\omega^{2}}=\frac{232\,720}{365\,913,932132}\approx0,63624,
\varphi=\arctan(0,63624)\approx0,569\\ \text{rad}\;(\approx32,6^\circ).
Calcule \cos\varphi (usaremos na soma das amplitudes):
\cos\varphi\approx0,8439.

Passo 7

Obtenha a amplitude do deslocamento absoluto X.
Lembre que x(t)=y(t)+z(t). Como y(t)=Y\sin\omega t e z(t)=Z\sin(\omega t-\varphi), a amplitude resultante X da soma harmônica é
X=\sqrt{Y^{2}+Z^{2}+2YZ\cos\varphi}.
Substituindo os números:
Y^{2}=(0,01)^{2}=0,0001,
Z^{2}\approx(0,000787)^{2}\approx0,000000619,
2YZ\cos\varphi\approx2\cdot0,01\cdot0,000787\cdot0,8439\approx0,00001328,
X^{2}\approx0,0001+0,000000619+0,00001328\approx0,000113899,
X\approx\sqrt{0,000113899}\approx0,01067\\ \text{m}.
Convertendo para milímetros:
X\approx10,67\\ \text{mm}.

Passo 8

Interpretação curta e ânimo: o resultado mostra que a massa praticamente segue o pavimento (amplitude da base 10 mm), mas a suspensão reduz bastante o deslocamento relativo (menos de 1 mm). Bom sinal — a suspensão está filtrando bem a excitação da base. Você mandou bem em pedir passo a passo; qualquer dúvida sobre um cálculo específico eu repito com mais detalhes.

Resposta

Amplitude do deslocamento relativo: 0,000787\\ \text{m} (aprox. 0,787\\ \text{mm}).
Amplitude do deslocamento absoluto: 0,01067\\ \text{m} (aprox. 10,67\\ \text{mm}).

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