Projete um Filtro Passa-Faixas (FPF) com aproximação de Butterworth de 2^a ordem. Utilize um FPA em cascata com um FPB, onde as frequências de corte são, respectivamente, 830 Hz e 1170 Hz . Esboce a curva de resposta em frequências aproximada para o referido filtro (1 pt).

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente projetar um filtro passa-faixas (FPF) de ordem 2 com aproximação Butterworth, montado como a cascata de um filtro passa-alta (FPA) e um passa-baixa (FPB). As frequências de corte são 830 Hz (para o FPA) e 1170 Hz (para o FPB). Vamos usar conceitos de filtros analógicos de 1ª ordem (já que 1ª ordem + 1ª ordem dá um FPF de 2ª ordem em cascata) e esboçar uma curva de resposta em frequência aproximada (Bode).

Passo 2

Antes de começar a resolver, lembrando a teoria básica:
  • Um filtro de 1ª ordem (Butterworth) tem resposta de magnitude |H(jomega)| = omegacraizomega^2 + omegac^2
    no caso de um passa-baixa, ou
    |H(jomega)| = omegaraizomega^2 + omegac^2no caso de um passa-alta.
  • Em escala log-log, cada seção 1ª ordem decai a −20 dB/década além da frequência de corte.
  • Em cascata, a resposta total é o produto das duas respostas individuais.

Passo 3

Definindo as frequências de canto em rad/s:
  • FPA (passa-alta) tem omega1 = 2pi times 830 rad/s
  • FPB (passa-baixa) tem omega2 = 2pi times 1170 rad/s
As funções de transferência analógicas (normalizadas em ganho unitário) são:
  • HPA(s) = ss + omega1
  • HPB(s) = omega2s + omega2
Então o FPF total é
$$H(s) = H_{PA}(s),\cdot,H_{PB}(s)
= \frac{s}{s + \omega_1};\times;\frac{\omega_2}{s + \omega_2}.$$

Passo 4

Pra esboçar o Bode magnitude aproximado:
  1. Em baixas frequências (ω ≪ ω₁), o termo de passa-alta domina e temos |H| ∝ ω (−20 dB/déc).
  2. Chegando em ω ≈ ω₁ (830 Hz): começa a “quebrar” a rampa e a seção passa-alta fica com ganho −3 dB naquele ponto.
  3. Entre ω₁ e ω₂ (830 Hz a 1170 Hz): as duas seções estão na região plana (cada uma ≈ 0 dB), então o FPF fica com resposta quase “reta” (nível máximo aproximadamente constante).
  4. Depois de ω₂ (1170 Hz), entra o decaimento da passa-baixa a −20 dB/déc, e o ganho cai.
No eixo de magnitude (dB) versus log f fica basicamente:
  • Rampa subindo +20 dB/déc até 830 Hz,
  • Platô (nível máximo) entre 830 e 1170 Hz,
  • Rampa descendo −20 dB/déc após 1170 Hz.

Resposta

Esquema aproximado da curva de resposta em frequência (Bode magnitude):
 |\
 | \        ________
 |  \      /        
dB | ____/
|
±-------------------→ log f
830Hz 1170Hz
Onde:
  • Até 830 Hz: inclinação +20 dB/déc (passa-alta).
  • Entre 830 Hz e 1170 Hz: platô (faixa passante).
  • Após 1170 Hz: inclinação −20 dB/déc (passa-baixa).

Exercícios relacionados