Projete um Filtro Passa-Faixas (FPF) com aproximação de Butterworth de
ordem. Utilize um FPA em cascata com um FPB, onde as frequências de corte são, respectivamente, 830 Hz e 1170 Hz . Esboce a curva de resposta em frequências aproximada para o referido filtro (1 pt).
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente projetar um filtro passa-faixas (FPF) de ordem 2 com aproximação Butterworth, montado como a cascata de um filtro passa-alta (FPA) e um passa-baixa (FPB). As frequências de corte são 830 Hz (para o FPA) e 1170 Hz (para o FPB). Vamos usar conceitos de filtros analógicos de 1ª ordem (já que 1ª ordem + 1ª ordem dá um FPF de 2ª ordem em cascata) e esboçar uma curva de resposta em frequência aproximada (Bode).
Passo 2
Antes de começar a resolver, lembrando a teoria básica:
- Um filtro de 1ª ordem (Butterworth) tem resposta de magnitude
no caso de um passa-baixa, ou
no caso de um passa-alta. - Em escala log-log, cada seção 1ª ordem decai a −20 dB/década além da frequência de corte.
- Em cascata, a resposta total é o produto das duas respostas individuais.
Passo 3
Definindo as frequências de canto em rad/s:
- FPA (passa-alta) tem
- FPB (passa-baixa) tem
As funções de transferência analógicas (normalizadas em ganho unitário) são:
- HPA(s) =
- HPB(s) =
Então o FPF total é
$$H(s) = H_{PA}(s),\cdot,H_{PB}(s)
= \frac{s}{s + \omega_1};\times;\frac{\omega_2}{s + \omega_2}.$$
Passo 4
Pra esboçar o Bode magnitude aproximado:
- Em baixas frequências (ω ≪ ω₁), o termo de passa-alta domina e temos |H| ∝ ω (−20 dB/déc).
- Chegando em ω ≈ ω₁ (830 Hz): começa a “quebrar” a rampa e a seção passa-alta fica com ganho −3 dB naquele ponto.
- Entre ω₁ e ω₂ (830 Hz a 1170 Hz): as duas seções estão na região plana (cada uma ≈ 0 dB), então o FPF fica com resposta quase “reta” (nível máximo aproximadamente constante).
- Depois de ω₂ (1170 Hz), entra o decaimento da passa-baixa a −20 dB/déc, e o ganho cai.
No eixo de magnitude (dB) versus log f fica basicamente:
- Rampa subindo +20 dB/déc até 830 Hz,
- Platô (nível máximo) entre 830 e 1170 Hz,
- Rampa descendo −20 dB/déc após 1170 Hz.
Resposta
Esquema aproximado da curva de resposta em frequência (Bode magnitude):
|\
| \ ________
| \ /
dB | ____/
|
±-------------------→ log f
830Hz 1170Hz
|
±-------------------→ log f
830Hz 1170Hz
Onde:
- Até 830 Hz: inclinação +20 dB/déc (passa-alta).
- Entre 830 Hz e 1170 Hz: platô (faixa passante).
- Após 1170 Hz: inclinação −20 dB/déc (passa-baixa).