Projete um voltímetro CA com retificador que possua as funções de medições das seguintes escalas: (0-10) \mathrm{V},(0-20) \mathrm{V},(0-50) \mathrm{V}. Utilize como indicador um galvanômetro \mathrm{IGmax}=50 \mu \mathrm{~A} e RiG =200 \Omega; Utilize o esquema do voltímetro com retificação em onda completa. Considere os diodos ideais.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pedem projetar um voltímetro para medir tensões CA nas faixas (0-10)\\ \mathrm{V}, (0-20)\\ \mathrm{V} e (0-50)\\ \mathrm{V} usando um esquema com retificação em onda completa (ponte ou dobrador de meia-onda dupla ideal), assumindo diodos ideais.
  • Indicador: galvanômetro com corrente máxima I_{G\max}=50\\ \mu\mathrm{A} e resistência interna R_G=200\\ \Omega.
  • Pressupostos importantes que vamos usar (fornecidos ou naturais para esse tipo de projeto): diodos ideais (sem queda de tensão), o galvanômetro responde ao valor médio da corrente retificada (movimento de bobina móvel com tempo de resposta suficientemente lento para integrar os pulsos), e o circuito é resistivo (sem filtros capacitivos que alterem a média).
  • Objetivo concreto de projeto: calcular os resistores série R_s necessários em cada escala de modo que, na tensão CA de fundo de escala (valor eficaz V_{\text{rms}} indicado, por exemplo 10\\ \mathrm{V} na escala (0-10)\\ \mathrm{V}), a corrente média no galvanômetro seja exatamente I_{G\max}=50\\ \mu\mathrm{A}.

Passo 2

Conceito físico e fórmula para a tensão média após retificação em onda completa.
  • Para uma tensão senoidal de entrada v(t)=V_m\sin(\omega t) a componente retificada em onda completa é |v(t)|.
  • A média (valor médio) de |v(t)| ao longo de um período é
V_{\text{avg}}=\frac{1}{T}\int_0^T |V_m\sin(\omega t)|\,dt.
  • Essa integral é conhecida e dá
V_{\text{avg}}=\frac{2}{\pi}V_m.
  • Como a relação entre amplitude e valor eficaz é V_m=\sqrt{2}\,V_{\text{rms}}, substituindo obtemos a relação entre o valor médio da tensão retificada e o valor eficaz da CA:
V_{\text{avg}}=\frac{2}{\pi}\,V_m=\frac{2}{\pi}\,\sqrt{2}\,V_{\text{rms}}.
  • Definindo a constante numérica
k=\frac{2\sqrt{2}}{\pi}\approx0,900316,
temos
V_{\text{avg}}=k\,V_{\text{rms}}.
  • Observação didática: o galvanômetro CC ligado após a ponte retificadora responde aproximadamente à média da corrente retificada (por isso usamos V_{\text{avg}}). Assumimos diodos ideais; se existisse queda de diodo, subtrairíamos duas quedas por ciclo na ponte.

Passo 3

Relação entre V_{\text{avg}}, resistência total e corrente do galvanômetro; fórmula para R_s.
  • O circuito é uma fonte senoidal retificada alimentando em série o resistor de entrada R_s e o galvanômetro R_G. A corrente instantânea é i(t)=|v(t)|/(R_s+R_G). A corrente média vale
I_{\text{avg}}=\frac{V_{\text{avg}}}{R_s+R_G}.
  • Para obter fundo de escala quisemos I_{\text{avg}}=I_{G\max} quando V_{\text{rms}}=V_{\text{fs}} (valor eficaz de fundo de escala). Portanto
R_s+R_G=\frac{V_{\text{avg}}}{I_{G\max}}=\frac{k\,V_{\text{fs}}}{I_{G\max}}.
  • Isolando R_s,
R_s=\frac{k\,V_{\text{fs}}}{I_{G\max}}-R_G.
  • Essa é a fórmula que vamos aplicar para cada escala V_{\text{fs}}=10,\\\ 20,\\\ 50\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Valor numérico da constante e dos parâmetros conhecidos (colocando tudo em TeX).
  • Constante k:
k=\frac{2\sqrt{2}}{\pi}\approx0,900316.
  • Dados do galvanômetro:
I_{G\max}=50\\ \mu\mathrm{A}=50\times10^{-6}\\ \mathrm{A},\qquad R_G=200\\ \Omega.

Passo 5

Cálculo detalhado para a escala (0-10)\\ \mathrm{V}.
  • Primeiro calcule V_{\text{avg}} para V_{\text{fs}}=10\\ \mathrm{V}:
V_{\text{avg}}=k\,V_{\text{fs}}=0,900316\cdot10=9,003163\\ \mathrm{V}.
  • Resistência total necessária:
R_{\text{tot}}=\frac{V_{\text{avg}}}{I_{G\max}}=\frac{9,003163}{50\times10^{-6}}=180063{,}26\\ \Omega.
  • Assim o resistor série exigido é
R_s=R_{\text{tot}}-R_G=180063{,}26-200=179863{,}26\\ \Omega\approx179{,}863\\ \mathrm{k}\Omega.

Passo 6

Cálculo detalhado para a escala (0-20)\\ \mathrm{V}.
  • V_{\text{avg}} para V_{\text{fs}}=20\\ \mathrm{V}:
V_{\text{avg}}=k\cdot20=0,900316\cdot20=18,006326\\ \mathrm{V}.
  • Resistência total:
R_{\text{tot}}=\frac{18,006326}{50\times10^{-6}}=360126{,}52\\ \Omega.
  • Resistor série:
R_s=360126{,}52-200=359926{,}52\\ \Omega\approx359{,}927\\ \mathrm{k}\Omega.

Passo 7

Cálculo detalhado para a escala (0-50)\\ \mathrm{V}.
  • V_{\text{avg}} para V_{\text{fs}}=50\\ \mathrm{V}:
V_{\text{avg}}=k\cdot50=0,900316\cdot50=45,0158158\\ \mathrm{V}.
  • Resistência total:
R_{\text{tot}}=\frac{45,0158158}{50\times10^{-6}}=900316{,}316\\ \Omega.
  • Resistor série:
R_s=900316{,}316-200=900116{,}316\\ \Omega\approx900{,}116\\ \mathrm{k}\Omega.

Passo 8

Escolha prática de valores comerciais e verificação rápida do erro (sugestões e cálculo do efeito de arredondamento).
  • Os R_s calculados (valores exatos) são:
    • Para 10\\ \mathrm{V}: R_s\approx179{,}863\\ \mathrm{k}\Omega.
    • Para 20\\ \mathrm{V}: R_s\approx359{,}927\\ \mathrm{k}\Omega.
    • Para 50\\ \mathrm{V}: R_s\approx900{,}116\\ \mathrm{k}\Omega.
  • Em prática escolhe-se o valor comercial mais próximo. Boas escolhas (comuns) são:
    • R_s(10\\ \mathrm{V})=180\\ \mathrm{k}\Omega.
    • R_s(20\\ \mathrm{V})=360\\ \mathrm{k}\Omega.
    • R_s(50\\ \mathrm{V})=900\\ \mathrm{k}\Omega (ou 910\\ \mathrm{k}\Omega se disponível).
  • Verificação rápida do efeito: se usar R_s=180\\ \mathrm{k}\Omega na escala 10\\ \mathrm{V}, então R_{\text{tot}}=180200\\ \Omega e a corrente real de fundo de escala é
I=\frac{V_{\text{avg}}}{R_{\text{tot}}}=\frac{9,003163}{180200}=49{,}98\\ \mu\mathrm{A},
logo erro muito pequeno (menor que 0{,}1\%). Valores escolhidos acima introduzem erros insignificantes para medições convencionais.

Passo 9

Resumo prático de montagem e observações finais (didática, o que importa na prova).
  • Montar a ponte retificadora (ou configuração de retificação em onda completa) diretamente na entrada CA; a saída do retificador alimenta em série R_s e o galvanômetro R_G.
  • Assumimos diodos ideais; se diodos reais forem usados, subtrair na fórmula duas quedas médias por ciclo (na ponte, normalmente duas quedas \approx0{,}7\\ \mathrm{V} cada) quando V_{\text{fs}} for pequena — isso exigiria ajustar R_s.
  • Lembre-se: o galvanômetro mede a média da corrente retificada; por isso usamos V_{\text{avg}}=k\,V_{\text{rms}} com k=\dfrac{2\sqrt{2}}{\pi}.
  • Em prova: escreva claramente a dedução de V_{\text{avg}}, coloque a equação para R_s e mostre as contas numéricas como fiz aqui.

Resposta

Para (0-10)\\ \mathrm{V}: R_s=179863{,}26\\ \Omega \approx180\\ \mathrm{k}\Omega\newline
Para (0-20)\\ \mathrm{V}: R_s=359926{,}52\\ \Omega \approx360\\ \mathrm{k}\Omega\newline
Para (0-50)\\ \mathrm{V}: R_s=900116{,}32\\ \Omega \approx900\\ \mathrm{k}\Omega

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