Projetar um voltímetro que meça até 5 V a partir de um galvanômetro que tem \mathrm{RiG}=200 \Omega e IGmax =0,5 \mathrm{~mA}.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (copiados do enunciado):
  • Pedido: projetar um voltímetro capaz de medir até 5\\ \mathrm{V} usando o galvanômetro disponível.
  • Dados do galvanômetro:
    • resistência interna R_{iG}=200\\ \Omega,
    • corrente de fundo de escala I_{G\max}=0{,}5\\ \mathrm{mA}.
Então, objetivamente, precisamos determinar o resistor série R_s que, colocado em série com o galvanômetro, faz com que a combinação indique fundo de escala quando a tensão aplicada for 5\\ \mathrm{V}.

Passo 2

Ideia física e fórmula principal (a “receita” que vale sempre em prova).
  • Um voltímetro ideal para medir até uma tensão V_{\max} é feito colocando o galvanômetro em série com um resistor R_s. Quando a tensão aplicada é V_{\max}, a corrente que passa é I_{G\max} (fundo de escala do galvanômetro).
  • Pela Lei de Ohm, a resistência total que dá essa corrente é
R_T=\frac{V_{\max}}{I_{G\max}}.
Aqui:
  • R_T é a resistência total do voltímetro (galvanômetro + resistor série),
  • V_{\max} é a tensão máxima que o voltímetro deve medir,
  • I_{G\max} é a corrente de fundo de escala do galvanômetro.
  • O resistor série pedido é então a diferença entre R_T e a resistência interna do galvanômetro:
R_s = R_T - R_{iG}.
Expliquei o porquê: a tensão total V_{\max} cai sobre a soma R_{iG}+R_s e essa queda, dividida pela resistência total, dá a corrente I_{G\max}.

Passo 3

Converter unidades (sempre faça isso na prova para evitar erros).
  • A corrente está em miliampères; transformar para ampères:
I_{G\max}=0{,}5\\ \mathrm{mA}=0{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{A}=0{,}0005\\ \mathrm{A}.
  • A tensão já está em volts: V_{\max}=5\\ \mathrm{V}.
  • A resistência interna já está em ohms: R_{iG}=200\\ \Omega.

Passo 4

Calcular a resistência total necessária R_T.
  • Usando \displaystyle R_T=\frac{V_{\max}}{I_{G\max}},
R_T=\frac{5}{0{,}0005}\\ \Omega.
  • Faça contas passo a passo: 5\div0{,}0005 = 5\cdot\frac{1}{0{,}0005} = 5\cdot2000 = 10000.
R_T=10000\\ \Omega = 10\\ \text{k}\Omega.

Passo 5

Calcular o resistor série R_s.
  • Usando \displaystyle R_s=R_T-R_{iG},
R_s=10000\\ \Omega - 200\\ \Omega = 9800\\ \Omega.
  • Em unidade prática,
R_s=9800\\ \Omega = 9{,}8\\ \text{k}\Omega.

Passo 6

Verificação rápida (checar sempre na prova).
  • Corrente esperada com V_{\max}:
I=\frac{V_{\max}}{R_{iG}+R_s}=\frac{5}{200+9800}=\frac{5}{10000}=0{,}0005\\ \mathrm{A}=0{,}5\\ \mathrm{mA},
que é exatamente I_{G\max}. OK.
  • Queda de tensão no galvanômetro:
V_G=I_{G\max}\,R_{iG}=0{,}0005\cdot200=0{,}1\\ \mathrm{V}.
  • Queda de tensão no resistor série:
V_{R_s}=5-0{,}1=4{,}9\\ \mathrm{V}.

Passo 7

Potências e escolha prática do resistor (dica de prova e projeto).
  • Potência total dissipada pela combinação:
P_{\text{total}}=V_{\max}\,I_{G\max}=5\cdot0{,}0005=0{,}0025\\ \mathrm{W}=2{,}5\\ \mathrm{mW}.
  • Potência no galvanômetro:
P_G=I_{G\max}^2 R_{iG}=(0{,}0005)^2\cdot200=0{,}00005\\ \mathrm{W}=50\\ \mu\mathrm{W}.
  • Potência no resistor série:
P_{R_s}=P_{\text{total}}-P_G=0{,}0025-0{,}00005=0{,}00245\\ \mathrm{W}=2{,}45\\ \mathrm{mW}.
  • Conclusão prática: um resistor comum de 0{,}25\\ \mathrm{W} (ou mesmo 0{,}125\\ \mathrm{W}) é mais do que suficiente; basta garantir resistência correta. Na prática comercial, escolha o valor comercial mais próximo igual ou maior (por exemplo 9{,}8\\ \text{k}\Omega exato se disponível, ou ajustar com combinação de resistores; usar 10\\ \text{k}\Omega simples alteraria o fundo de escala levemente — cuidado com erro de leitura).

Passo 8

Resumo final do projeto (o que entregar na prova).
  • Resistência série a colocar em série com o galvanômetro: R_s=9{,}8\\ \text{k}\Omega.
  • Resistência total do voltímetro (resistência equivalente entre os terminais do voltímetro): R_T=10\\ \text{k}\Omega.
  • Recomendar potência do resistor: \ge 0{,}125\\ \mathrm{W} (usar 0{,}25\\ \mathrm{W} para folga).

Resposta

R_s=9{,}8\\ \text{k}\Omega
R_{V(\text{total})}=10\\ \text{k}\Omega

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