3.8 Um projétil é lançado da origem com velocidade inicial
com ângulo de elevação
em relação a horizontal. Mostre que se desprezarmos a resistência do ar e se o solo for tomado como nível, o projétil atinge o solo a uma distância
da origem. Este é o alcance horizontal do projétil. Mostre também que o decréscimo no alcance horizontal é aproximadamente
no caso de resistência do ar proporcional à velocidade (caso linear).
Passo 1
O enunciado trata do movimento de um projétil lançado do solo (origem) com velocidade inicial
formando ângulo
com a horizontal. Vamos primeiro obter o alcance horizontal quando não há resistência do ar (conteúdo de cinemática dos projéteis) e depois incluir resistência linear (força de arrasto
) e usar expansão para pequeno
a fim de achar a diminuição aproximada do alcance.
Passo 2
Sem resistência do ar, escrevemos as componentes da posição em função do tempo:
O projétil retorna ao solo quando
, excluindo a solução
. Logo
O alcance horizontal é
Passo 3
Agora incluímos arrasto linear
. As equações de movimento são
Integramos com as condições iniciais
,
:
Passo 4
Para achar o tempo de voo
, integramos
e impomos
:
A condição
dá a equação exata
Para
pequeno, fazemos expansão em série até
. O resultado é
Passo 5
O alcance com arrasto é
Expandindo em
até ordem
e substituindo
de cima, obtém-se
Portanto o decréscimo no alcance,
, vale aproximadamente
Resposta
Sem resistência do ar, o alcance é
Com resistência linear fraca, o decréscimo aproximado é