3.8 Um projétil é lançado da origem com velocidade inicial v0 com ângulo de elevação theta em relação a horizontal. Mostre que se desprezarmos a resistência do ar e se o solo for tomado como nível, o projétil atinge o solo a uma distância v0^2 sen 2 thetag da origem. Este é o alcance horizontal do projétil. Mostre também que o decréscimo no alcance horizontal é aproximadamente 4 v0^3 gamma sen theta sen 2 theta / 3 g^2 no caso de resistência do ar proporcional à velocidade (caso linear).

Passo 1

O enunciado trata do movimento de um projétil lançado do solo (origem) com velocidade inicial v0 formando ângulo theta com a horizontal. Vamos primeiro obter o alcance horizontal quando não há resistência do ar (conteúdo de cinemática dos projéteis) e depois incluir resistência linear (força de arrasto -mgamma v) e usar expansão para pequeno gamma a fim de achar a diminuição aproximada do alcance.

Passo 2

Sem resistência do ar, escrevemos as componentes da posição em função do tempo:
x(t)=v0costheta;t, y(t)=v0sintheta;t-tfrac12,g,t^2
O projétil retorna ao solo quando y(t)=0, excluindo a solução t=0. Logo
trm voo =2,v0sinthetag
O alcance horizontal é
R =xl(trm voor) =v0costheta;2,v0sinthetag =v0^2,sin2thetag

Passo 3

Agora incluímos arrasto linear ,-mgammavec v. As equações de movimento são
mdvxdt=-mgamma vx, mdvydt=-mgamma vy - m,g
Integramos com as condições iniciais vx(0)=v0costheta, vy(0)=v0sintheta:
vx(t)=v0costheta,e^-gamma t, vy(t)=l(v0sintheta+tfracggammar)e^-gamma t-tfracggamma

Passo 4

Para achar o tempo de voo T, integramos vy e impomos y(T)=0:
y(t) =integral0^t vy(t'),dt' =l(v0sintheta+tfracggammar)1-e^-gamma tgamma -ggamma,t
A condição y(T)=0 dá a equação exata
l(v0sintheta+tfracggammar)l(1-e^-gamma Tr) =g,T
Para gamma pequeno, fazemos expansão em série até O(gamma). O resultado é
Tapprox 2,v0sinthetag,l[1 - tfrac23,gamma,v0sinthetagr]

Passo 5

O alcance com arrasto é
R(gamma) =integral0^T vx(t),dt =v0costhetagamma,l(1-e^-gamma Tr)
Expandindo em gammall1 até ordem O(gamma) e substituindo T de cima, obtém-se
R(gamma)approx v0^2sin2thetag, l[1-tfrac43,gamma,v0sinthetagr]
Portanto o decréscimo no alcance, De<a R=R(0)-R(gamma), vale aproximadamente
De<a R approx 4,v0^3,gamma,sintheta,sin2theta3,g^2

Resposta

Sem resistência do ar, o alcance é
R0=v0^2,sin2thetag
Com resistência linear fraca, o decréscimo aproximado é
De<a Rapprox 4,v0^3,gamma,sintheta,sin2theta3,g^2

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