3.7 Mostre que a variação da gravidade com a altura pode ser explicada aproximadamente pela seguinte função energia potencial:
V=m g z(1-zR)
onde R é o raio da Terra. Encontre a força associada com esta função energia potencial. Deste resultado, encontre as componentes da equação diferencial do movimento de um projétil submetido a esta força.

Passo 1

O enunciado nos dá a energia potencial aproximada que leva em conta a variação da gravidade com a altura:
V = m g zl(1 - zRr),
onde R é o raio da Terra. Para obter a força associada, vamos usar o fato de que
F = -nabla V
Em seguida, aplicamos a segunda lei de Newton, ,mddotr=F, para escrever as equações diferenciais do movimento de um projétil.

Passo 2

Como V depende só da coordenada vertical z, temos
Fx = -partial Vpartial x = 0, Fy = -partial Vpartial y = 0, Fz = -dVdz
Calculando
dVdz = ddzl(mg z - mgz^2Rr) = mg - 2,mgzR = mgl(1 - 2zRr),
logo
Fz = -mgl(1 - 2zRr) = -,mg + 2,mgzR
Assim,
F = l(0,,0,,-mg + 2mgzRr)

Passo 3

Pela segunda lei de Newton, mddotr=F, obtemos nas componentes:
mddot x = 0, mddot z = -,mg + 2,mgzR
Dividindo por m, ficam as equações de movimento do projétil:

Resposta

ddot x(t) = 0
ddot z(t) = -,g + 2,gz(t)R

Exercícios relacionados