3.7 Mostre que a variação da gravidade com a altura pode ser explicada aproximadamente pela seguinte função energia potencial:
onde
é o raio da Terra. Encontre a força associada com esta função energia potencial. Deste resultado, encontre as componentes da equação diferencial do movimento de um projétil submetido a esta força.
Passo 1
O enunciado nos dá a energia potencial aproximada que leva em conta a variação da gravidade com a altura:
onde
é o raio da Terra. Para obter a força associada, vamos usar o fato de que
Em seguida, aplicamos a segunda lei de Newton,
, para escrever as equações diferenciais do movimento de um projétil.
Passo 2
Como
depende só da coordenada vertical
, temos
Calculando
logo
Assim,
Passo 3
Pela segunda lei de Newton,
, obtemos nas componentes:
Dividindo por
, ficam as equações de movimento do projétil: