Considere as duas funções força
a)
b)
Verifique que (a) é conservativa e (b) é não conservativa mostrando que a integral
é independente da trajetória de integração para (a), mas não para (b), tomando dois caminhos para os quais a origem
é o ponto de partida e
é o ponto de chegada. Para uma trajetória tome a linha
. Para a outra, tome o eixo
até o ponto
e depois a linha
até o ponto $(1,1).
a)
b)
Passo 1
Resumindo o que temos que fazer: os campos de força são
e
.
Queremos calcular
em dois caminhos diferentes—(i) reta e (ii) caminho em duas etapas (vertical de
a
e depois horizontal de
a
)—para ver se o valor depende ou não da trajetória.
Queremos calcular
em dois caminhos diferentes—(i) reta
Passo 2
Para
no caminho 1 (reta
) usamos a parametrização
,
. Então
e
, logo
e
Passo 3
Para
no caminho 2 temos duas etapas:
– Etapa 1:
,
. Então
,
e
– Etapa 2:
,
. Então
,
e
Somando dá
, igual ao caminho 1. Logo
é conservativa.
Passo 4
Para
no caminho 1 (reta
) temos a mesma parametrização
. Então
,
e
, logo
Passo 5
Para
no caminho 2:
– Etapa 1:
dá
,
e
– Etapa 2:
dá
,
e
Somando dá
, diferente de
. Logo
é não conservativa.