Considere as duas funções força
a) overrightarrowF=overrightarrowimath x+overrightarrowjmath y
b) overrightarrowF=overrightarrowimath y-overrightarrowjmath x
Verifique que (a) é conservativa e (b) é não conservativa mostrando que a integral integral F d r é independente da trajetória de integração para (a), mas não para (b), tomando dois caminhos para os quais a origem (0,0) é o ponto de partida e (1,1) é o ponto de chegada. Para uma trajetória tome a linha x=y. Para a outra, tome o eixo y até o ponto (0,1) e depois a linha y=1 até o ponto $(1,1).

Passo 1

Resumindo o que temos que fazer: os campos de força são
Fa(x,y)=x,imath+y,jmath e
Fb(x,y)=y,imath-x,jmath.
Queremos calcular
integral(0,0)^(1,1)Fcdotdr
em dois caminhos diferentes—(i) reta x=y e (ii) caminho em duas etapas (vertical de (0,0) a (0,1) e depois horizontal de (0,1) a (1,1))—para ver se o valor depende ou não da trajetória.

Passo 2

Para Fa no caminho 1 (reta x=y) usamos a parametrização
r1(t)=(t,t), tin[0,1]. Então
dr=(1,1),dt e
Fa(r1(t))=(t,t), logo
Facdotdr=(t+t),dt=2t,dt
e
integral0^1 2t,dt = 1

Passo 3

Para Fa no caminho 2 temos duas etapas:
– Etapa 1: r2a(t)=(0,t), tin[0,1]. Então Fa=(0,t), dr=(0,1),dt e
integral0^1 t,dt = 12
– Etapa 2: r2b(t)=(t,1), tin[0,1]. Então Fa=(t,1), dr=(1,0),dt e
integral0^1 t,dt = 12
Somando dá 1, igual ao caminho 1. Logo Fa é conservativa.

Passo 4

Para Fb no caminho 1 (reta x=y) temos a mesma parametrização r1(t)=(t,t). Então
Fb(r1(t))=(t,-t), dr=(1,1),dt e
Fbcdotdr=(t-t),dt=0, logo
integral0^1 0,dt = 0

Passo 5

Para Fb no caminho 2:
– Etapa 1: r2a(t)=(0,t) Fb=(t,0), dr=(0,1),dt e
integral0^1 0,dt = 0
– Etapa 2: r2b(t)=(t,1) Fb=(1,-t), dr=(1,0),dt e
integral0^1 1,dt = 1
Somando dá 1, diferente de 0. Logo Fb é não conservativa.

Resposta

Fa é conservativa (integral sempre 1),
Fb é não conservativa (integral vale 0 num caminho e 1 noutro).

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