( 1,5 pontos) [FLAMBAGEM - PROJETO COM CARGAS CONCÊNTRICAS] Determine o maior comprimento de uma coluna de aço A-36 com perfil W610x155 se ela estiver apoiada por pinos e for submetida a uma carga de 1200 kN . Use as equações AISC.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados são fornecidos.
  • Pede: determinar o maior comprimento de uma coluna de aço A‑36 com perfil W610x155, apoiada por pinos (pino‑pino), submetida a uma carga concentrada axial P=1200\\ \text{kN}. Usar as equações AISC.
  • Dados fornecidos no enunciado:
    • P=1200\\ \text{kN}.
    • Apoios por pinos em ambas as extremidades (portanto fator de comprimento efetivo K=1).
    • Material: aço A‑36 (usar propriedades usuais do aço A‑36).
  • Dados necessários que NÃO foram fornecidos no enunciado e que são essenciais para resolver o problema:
    • Área transversal do perfil A (por ex. em \mathrm{mm}^2 ou \mathrm{m}^2).
    • Raios de giração r_x e r_y (ou, pelo menos, o menor raio de giração r_\text{min}), em \mathrm{mm}.
    • (Opcional, mas útil) momento(s) de inércia I_x,I_y.
  • Observação final deste passo: sem os valores de A e do raio de giração mínimo r do perfil W610x155 (valores que constam nas tabelas/AISC), não é possível obter numericamente o comprimento máximo. A seguir eu mostro, passo a passo e de forma didática, exatamente como usar as equações AISC para chegar ao comprimento L assim que esses dados forem consultados.

Passo 2

Constantes do material e unidades — definir tudo para não se confundir na prova.
  • Módulo de elasticidade do aço (A36): vamos usar E = 200{,}000\\ \mathrm{MPa} \quad (=200\\ \text{GPa}).
  • Tensão de escoamento típica do A36 (valor padrão usado em problemas): F_y = 250\\ \mathrm{MPa}\quad(\text{aprox. }36\\ \text{ksi}).
  • Força aplicada, convertida para \mathrm{N}: P = 1200\\ \text{kN} = 1\,200\,000\\ \mathrm{N}.
  • Unidades recomendadas para calcular com as fórmulas AISC (prática comum): forçar tudo para \mathrm{N} e \mathrm{mm} e \mathrm{MPa} = \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2. Assim, se você consultar A em \mathrm{mm}^2 e r em \mathrm{mm}, as fórmulas abaixo funcionam sem conversões adicionais.

Passo 3

Explicar fisicamente e definir variáveis importantes (o que é r, K, KL/r, etc.).
  • A = área da seção transversal do perfil (em \mathrm{mm}^2).
  • r_x,r_y = raios de giração em torno dos eixos principais; tomar r = r_\text{min} = \min(r_x,r_y) porque o flambagem ocorrerá no sentido do menor raio de giração.
  • K = fator de comprimento efetivo; para apoio pino‑pino, K=1.
  • L = comprimento real da coluna (o que queremos encontrar).
  • KL/r = esbeltez geométrica efetiva (adimensional). É o parâmetro que controla se a coluna está na região elástica (Euler) ou na região inelástica conforme as curvas AISC.
  • Intuição rápida: quanto maior KL/r, mais esbelta a coluna e menor a resistência por flambagem.

Passo 4

Equações AISC básicas para resistência à flambagem (força nominal P_n) — apresentação didática.
A AISC define uma esbeltez adimensional (chamarei aqui de \bar{\lambda}) e a tensão crítica F_{cr} por duas expressões (região inelástica e região elástica):
  • Definição de \bar{\lambda}:
\bar{\lambda} = \frac{KL}{r}\sqrt{\frac{F_y}{\pi^2 E}}.
Aqui \bar{\lambda} é adimensional. Observe que \frac{KL}{r} é a esbeltez geométrica e o fator \sqrt{\dfrac{F_y}{\pi^2 E}} dá a escala relativa entre escoamento e rigidez elástica.
  • Tensão de flambagem F_{cr} (AISC):
\text{Se }\bar{\lambda}\le 1{,}5:\qquad F_{cr} = 0{,}658^{\bar{\lambda}^2}\,F_y.
\text{Se }\bar{\lambda}>1{,}5:\qquad F_{cr} = 0{,}877\;\frac{\pi^2 E}{(KL/r)^2}.
  • Força nominal resistente:
P_n = F_{cr}\,A.
Na prática do enunciado (sem fatores de resistência adicionais pedidos), igualamos P_n a P para encontrar o maior L tal que P_n \ge P. Em muitas provas pedem só isso — usar as equações AISC para obter L.

Passo 5

Estratégia de solução (passo a passo lógico que você deve aplicar na prova).
  1. Consultar a tabela do perfil W610x155 e obter:
    • A (em \mathrm{mm}^2).
    • r_x e r_y (em \mathrm{mm}). Tomar r=r_\text{min}.
  2. Calcular a tensão média solicitante \sigma = P/A (em \mathrm{MPa} — pois P em \mathrm{N} e A em \mathrm{mm}^2 \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2).
  3. Proceder por tentativas lógica:
    • Primeiro supor que a coluna está na região inelástica ( \bar{\lambda}\le1{,}5) e usar a expressão de F_{cr}=0{,}658^{\bar{\lambda}^2}F_y. A partir de P = A F_{cr} isolamos \bar{\lambda} (veja Passo 6). Se o \bar{\lambda} calculado satisfizer \bar{\lambda}\le1{,}5, solução válida, encontrar L. Caso contrário, passar à região elástica.
    • Se não for válida, usar a expressão elástica (Euler modificada pela AISC) F_{cr}=0{,}877\pi^2 E/(KL/r)^2 e isolar KL/r e L (veja Passo 7).
  4. Sempre, ao final, verificar coerência: o \bar{\lambda} usado deve satisfazer a condição da região escolhida ( \le1{,}5 ou >1{,}5).

Passo 6

Resolver analiticamente o caso inelástico (mostrar as contas simbólicas para aplicar na prova).
Assumindo \bar{\lambda}\le1{,}5, temos
P = A\;F_{cr} = A\;0{,}658^{\bar{\lambda}^2}\,F_y.
Isolando \bar{\lambda}^2:
\frac{P}{A F_y} = 0{,}658^{\bar{\lambda}^2}.
Aplicando logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{P}{A F_y}\right) = \bar{\lambda}^2\ln(0{,}658).
Como \ln(0{,}658)<0, obtemos
\bar{\lambda}^2 = \frac{\ln\!\left(\dfrac{P}{A F_y}\right)}{\ln(0{,}658)}.
Então
\bar{\lambda} = \sqrt{\frac{\ln\!\left(\dfrac{P}{A F_y}\right)}{\ln(0{,}658)}}.
A partir de \bar{\lambda} recupera‑se KL/r:
\frac{KL}{r} = \bar{\lambda}\,\sqrt{\frac{\pi^2 E}{F_y}}.
Finalmente, isolando L:
L = \frac{r}{K}\,\bar{\lambda}\,\sqrt{\frac{\pi^2 E}{F_y}}.
Após calcular L deve‑se checar que o \bar{\lambda} obtido realmente satisfaz \bar{\lambda}\le1{,}5. Se não satisfizer, descartar essa solução e usar a do Passo 7.

Passo 7

Resolver analiticamente o caso elástico (Euler modificado AISC).
Assumindo \bar{\lambda}>1{,}5, a expressão é
P = A\;F_{cr} = A\cdot 0{,}877\;\frac{\pi^2 E}{(KL/r)^2}.
Isolando (KL/r)^2:
(KL/r)^2 = 0{,}877\;\frac{\pi^2 E A}{P}.
Logo
\frac{KL}{r} = \sqrt{0{,}877\;\frac{\pi^2 E A}{P}}.
Isolando L:
L = \frac{r}{K}\sqrt{0{,}877\;\frac{\pi^2 E A}{P}}.
Após calcular L, obtenha \bar{\lambda} por
\bar{\lambda} = \frac{KL}{r}\sqrt{\frac{F_y}{\pi^2 E}}
e confirme que \bar{\lambda}>1{,}5. Se não for, voltar ao Passo 6.

Passo 8

Como proceder na prática (check‑list para a prova) — resumo executável em poucos passos.
  1. Olhe na tabela do perfil W610x155 e copie A e r_x,r_y. Anote r=r_\text{min}.
  2. Use K=1, E=200{,}000\\ \mathrm{MPa}, F_y=250\\ \mathrm{MPa}, P=1\,200\,000\\ \mathrm{N}.
  3. Calcule \dfrac{P}{A F_y}. Tente a fórmula do Passo 6 (inelástica): calcule \bar{\lambda} por aquela expressão com log. Se \bar{\lambda}\le1{,}5, então calcule L com a fórmula do Passo 6 e pronto.
  4. Se \bar{\lambda}>1{,}5 no passo 3, use a fórmula do Passo 7 (elástica) para L.
  5. Em qualquer caso, verifique consistência da região escolhida.

Passo 9

Exemplo numérico ilustrativo (APENAS para mostrar o procedimento com números): uso de valores aproximados assumidos para A e r. Atenção: estes valores são APENAS ilustrativos — não são valores oficiais do W610x155. Na prova você deve usar os números da tabela do perfil.
  • Suponha (apenas como ilustração) que da tabela obtemos: A = 19\,746\\ \mathrm{mm}^2,\qquad r = 63\\ \mathrm{mm}.
  • Então \dfrac{P}{A} = \dfrac{1\,200\,000}{19\,746}\\ \mathrm{N/mm^2} \approx 60{,}78\\ \mathrm{MPa}.
  • Tentar região inelástica: \frac{P}{A F_y} = \frac{60{,}78}{250} = 0{,}2431.
\bar{\lambda}^2 = \frac{\ln(0{,}2431)}{\ln(0{,}658)} \approx \frac{-1{,}412}{-0{,}4187} \approx 3{,}373,
\bar{\lambda} \approx 1{,}837.
Como \bar{\lambda}>1{,}5, a hipótese inelástica NÃO é válida.
  • Passar à região elástica (Euler modificado): (KL/r)^2 = 0{,}877\;\frac{\pi^2 E A}{P}.Substituindo E=200{,}000\\ \mathrm{MPa}, etc., obtém‑se numericamente \frac{KL}{r}\approx 168{,}78.Assim (com K=1), L = r\cdot\frac{KL}{r} \approx 63\\ \mathrm{mm}\times 168{,}78 \approx 10\,634\\ \mathrm{mm}\approx 10{,}63\\ \mathrm{m}.Verificação: com esse KL/r a \bar{\lambda} calculada dá cerca de 1{,}90>1{,}5, logo consistente com a região elástica.
  • Observação: este número final ( L\approx 10{,}63\\ \text{m}) é só um exemplo com valores assumidos. O valor correto para o W610x155 pode ser diferente: depende dos A e r reais da tabela.

Passo 10

Conclusão e instruções finais para você (calma — é simples quando tiver a tabela).
  • Não dá para fornecer o comprimento máximo numérico definitivo sem consultar a tabela do perfil W610x155 para obter A e r.
  • Quando você pegar a tabela:
    1. anote A e r_\text{min};
    2. siga o Passo 8 (tentar inelástico, se inválido usar elástico);
    3. faça a verificação final da região escolhida.
  • Se quiser, me envie os valores de A e r_x,r_y que constam na sua tabela do W610x155 (ou só envie A e r_\text{min}) e eu calculo o comprimento máximo numericamente, passo a passo, até o resultado final.

Resposta

Não é possível determinar numericamente o maior comprimento porque faltam as propriedades do perfil W610x155 (área A e raio de giração(s) r_x,r_y ou r_\text{min}). Sem esses dados da tabela do perfil não se pode calcular L.

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