Para esse projeto, inicialmente localizamos uma caçamba de entulho retangular para estudar sua forma e construção. Tentaremos então determinar as dimensões de um recipiente de forma similar e que minimize o custo de construção.
2. Mantendo a mesma forma geral e o método de construção, determine as dimensões que tal recipiente deveria ter para minimizar o custo de construção. Utilize as seguintes hipóteses para sua análise:
  • Os lados, a parte de trás e a da frente devem ser feitos com folhas de aço de tipo 12 (2,657 mm de espessura), que custam \ 8,00$ por metro quadrado (incluindo quaisquer cortes ou dobras necessários).
  • A base deve ser feita de uma folha de aço de tipo 10 ( 3,416 \mathrm{~mm} de espessura), que custa \ 10,00$ por metro quadrado.
  • As tampas custam aproximadamente \ 50,00$ cada, independentemente das dimensões.
  • A soldagem custa aproximadamente \ 0,60$ por metro para material e serviço combinados.
Dê sua justificativa para qualquer hipótese adicional ou simplificação feita dos detalhes de construção.

Passo 1

O problema pede que eu determine as dimensões de um recipiente retangular (tipo caçamba) que minimize o custo de construção, usando as hipóteses de materiais, custos de tampas e custo de solda dadas. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\begin{aligned} &\text{Custo das paredes (tipo 12): } \$8{,}00/\text{m}^2,\\\ &\text{Custo da base (tipo 10): } \$10{,}00/\text{m}^2,\\\ &\text{Custo por tampa: } \$50{,}00 \text{ (cada)},\\\ &\text{Custo de solda: } \$0{,}60/\text{m (por comprimento de solda)}. \end{aligned}
O enunciado não deu um volume alvo nem quantas tampas existem, então devo fazer hipóteses adicionais (e justificá‑las) para poder encontrar dimensões concretas. Vou declarar e justificar essas hipóteses antes de resolver.
Hipóteses adicionais que adoto e justificativa:
  • Vou exigir um volume útil fixo \,V para a caçamba (problema clássico de otimização: minimizar custo para volume fixo). Sem um volume alvo não se pode achar dimensões numéricas. Para obter um exemplo concreto e prático, escolho um volume típico de caçamba pequena de obra: \,V=6{,}0\\ \text{m}^3. Justifico: caçambas pequenas costumam ficar entre 4 e 8\\ \text{m}^3; 6\\ \text{m}^3 é um valor razoável para exemplificar a otimização. Se você quiser outro V, eu repito os cálculos com esse valor.
  • Presumo que a caçamba seja um paralelepípedo retangular com tampas no topo. Justifico: “mesma forma geral” do enunciado sugere retângulos planos montados por chapas.
  • Presumo que a caçamba terá n=2 tampas (duas abas que cobrem o topo, comum em caçambas). O custo das tampas entra então como 50n.
  • Para calcular o comprimento de solda, presumo que se solde: as junções verticais entre as chapas laterais e frente/trás (4 arestas verticais, cada uma de comprimento H) e a junção da base com as laterais (perímetro da base, comprimento 2(L+W)). Não conto soldas adicionais em tampas (supõe‑se que estão com dobradiças/fixação coberta pelo preço da tampa). Esta é uma simplificação razoável para obter uma estimativa do custo de solda total.
  • Ignoro a influência prática da espessura dos painéis nas dimensões internas (espessuras dadas são pequenas: 2{,}657\\ \text{mm} e 3{,}416\\ \text{mm}) — ou seja, considero as áreas e perímetros calculados com as dimensões externas do paralelepípedo. Justifico: espessuras são pequenas e a questão pede otimização de custo principal; incluir espessura complica pouco e altera pouco o resultado qualitativo.
Variáveis a definir:
\begin{aligned} &\text{comprimento: } L\\ (\text{m}),\\\ &\text{largura: } W\\ (\text{m}),\\\ &\text{altura: } H\\ (\text{m}),\\\ &\text{volume fixo: } V=LWH\\ (\text{m}^3). \end{aligned}

Passo 2

Escrever as expressões geométricas básicas (áreas e comprimento de solda) em função de L,\\ W,\\ H.
Áreas das chapas (superfícies planas):
  • Duas laterais (esquerda e direita): cada uma tem área L\cdot H. As duas juntas: \,2LH.
  • Frente e trás: cada uma tem área W\cdot H. As duas juntas: \,2WH.
  • Soma das quatro paredes laterais (frente+trás+duas laterais): \,A_{\text{paredes}}=2LH+2WH=2H(L+W).
  • Base: \,A_{\text{base}}=LW.
  • Topo será coberto por tampas, mas o custo das tampas é fixo por unidade, não depende da área (segundo enunciado).
Comprimento total de solda (hipótese feita no passo 1):
  • Junções base↔paredes: perímetro da base \,2(L+W).
  • Junções verticais entre chapas laterais (4 cantos): 4H.
  • Comprimento total de solda:
L_{\text{solda}}=2(L+W)+4H.

Passo 3

Escrever a função custo total C(L,W,H) usando os preços dados e as expressões do passo anterior.
Custos:
  • Custo das paredes (tipo 12, \$8{,}00/\text{m}^2):
C_{\text{paredes}}=8\cdot A_{\text{paredes}}=8\cdot 2H(L+W)=16H(L+W).
  • Custo da base (tipo 10, \$10{,}00/\text{m}^2):
C_{\text{base}}=10\cdot LW.
  • Custo das tampas:
C_{\text{tampas}}=50\,n.
  • Custo de solda ( \$0{,}60/\text{m}):
C_{\text{solda}}=0{,}6\cdot L_{\text{solda}}=0{,}6\big(2(L+W)+4H\big)=1{,}2(L+W)+2{,}4H.
Somando tudo:
\begin{aligned} C(L,W,H)&=16H(L+W)+10LW+50n+1{,}2(L+W)+2{,}4H\\\ &=16H(L+W)+10LW+1{,}2(L+W)+2{,}4H+50n. \end{aligned}
Condição de volume fixo:
\label{volume} V=LWH \quad\Rightarrow\quad H=\frac{V}{LW}.
O objetivo: minimizar C(L,W,H) sujeito à restrição \,LWH=V.

Passo 4

Redução usando simetria. Observe que a função C é simétrica em L e W: as aparições de L e W são trocáveis sem alterar C (áreas de paredes e perímetro dependem de L+W; a base depende de LW; restrição de volume depende de LW\cdot H). Para problemas simétricos deste tipo, um argumento padrão (e justificado por convexidade típica desses termos) é que, para um mínimo, devemos ter L=W. Intuitivamente: se L\neq W podemos “equalizar” L e W mantendo LW fixo para obter menor soma L+W (média aritmética minimizada quando as dimensões são iguais para produto fixo), o que tende a reduzir custos que dependem de L+W. Portanto assumimos a solução com L=W.
Defina a:=L=W. Então
H=\frac{V}{a^2}.
Reescrevemos C como função de uma variável a (com n e V dados):
\begin{aligned} A_{\text{paredes}}&=2H(L+W)=2\cdot\frac{V}{a^2}\cdot(2a)=4a\cdot\frac{V}{a^2}=\frac{4V}{a},\\\ \text{(ou diretamente)}\quad 16H(L+W)&=16\cdot\frac{V}{a^2}\cdot 2a=32\cdot\frac{V}{a}. \end{aligned}
Base: LW=a^2. Perímetro: 2(L+W)=4a. Termo 2{,}4H=2{,}4\cdot\frac{V}{a^2}.
Assim
\begin{aligned} C(a)&=32\frac{V}{a}+10a^2+1{,}2\cdot 2a +2{,}4\frac{V}{a^2}+50n\\\ &=10a^2+32\frac{V}{a}+2{,}4a+2{,}4\frac{V}{a^2}+50n. \end{aligned}
Agora temos um problema de otimização unidimensional: minimizar C(a) para a>0 com V e n dados.

Passo 5

Derivar C(a) e encontrar condição de ótimo (derivada nula). Vou mostrar passo a passo o cálculo da derivada e a equação necessária.
Derivada de cada termo:
\begin{aligned} &\frac{d}{da}\big(10a^2\big)=20a,\\\ &\frac{d}{da}\Big(32\frac{V}{a}\Big)=-32\frac{V}{a^2},\\\ &\frac{d}{da}\big(2{,}4a\big)=2{,}4,\\\ &\frac{d}{da}\Big(2{,}4\frac{V}{a^2}\Big)=-2\cdot 2{,}4\frac{V}{a^3}=-4{,}8\frac{V}{a^3},\\\ &\frac{d}{da}(50n)=0. \end{aligned}
Logo a condição de primeira ordem \frac{dC}{da}=0
20a+2{,}4-32\frac{V}{a^2}-4{,}8\frac{V}{a^3}=0.
Para resolver numericamente essa equação para a preciso de V e n. Vou usar as escolhas feitas no Passo 1: V=6{,}0\\ \text{m}^3 e n=2.
Substituindo V=6:
20a+2{,}4-\frac{192}{a^2}-\frac{28{,}8}{a^3}=0.
Multiplicando por a^3 para obter um polinômio:
20a^4+2{,}4a^3-192a-28{,}8=0.
Esta é uma equação polinomial de grau 4 que resolveremos numericamente (não há necessidade de soluções fechadas nesse ponto; usamos métodos numéricos ou tentativa e erro para encontrar a raiz positiva apropriada que minimiza C).

Passo 6

Resolver numericamente a equação do passo anterior. Vou fazer uma busca por aproximação (método da bisecção/interpolação simples) e apresento as contas essenciais.
Avaliação da função
f(a)=20a+2{,}4-\frac{192}{a^2}-\frac{28{,}8}{a^3}.
Testes rápidos mostram:
\begin{aligned} f(2{,}0)&=20\cdot 2{,}0+2{,}4-192/4-28{,}8/8=42{,}4-48-3{,}6=-9{,}2,\\\ f(2{,}2)&=44+2{,}4-192/4{,}84-28{,}8/10{,}648\approx 46{,}4-39{,}669-2{,}705\approx 4{,}03. \end{aligned}
Como f(2{,}0)<0 e f(2{,}2)>0, existe uma raiz entre 2{,}0 e 2{,}2.
Fazendo aproximações sucessivas (tentar a=2{,}135 por interpolação) obtemos
f(2{,}135)\approx 0{,}006\\ (\text{próximo de zero}).ó
Portanto uma boa aproximação da solução positiva é
a\approx 2{,}135\\ \text{m}.

Passo 7

Calcular H e verificar dimensões, além do custo total e uma verificação de mínimo (segunda derivada) de maneira qualitativa.
Altura:
H=\frac{V}{a^2}=\frac{6{,}0}{(2{,}135)^2}\approx\frac{6{,}0}{4{,}558}\approx 1{,}316\\ \text{m}.
Portanto as dimensões ótimas (sob as hipóteses adotadas) são aproximadamente:
L=W=a\approx 2{,}135\\ \text{m},\qquad H\approx 1{,}316\\ \text{m}.
Verificação qualitativa de mínimo: a função C(a) é a soma de um termo crescente em a^2, termos decrescentes em 1/a e 1/a^2 e um termo linear; para a\to 0 e a\to\infty o custo vai a +\infty, logo uma raiz da derivada corresponde a mínimo local global. A proximidade dos sinais e a mudança de sinal na derivada confirmam que a raiz encontrada é o ponto mínimo.
Cálculo aproximado do custo total (para dar uma ideia numérica):
  • A_{\text{paredes}}=2H(L+W)=2\cdot 1{,}316\cdot(2{,}135+2{,}135)=4{,}558\cdot4{,}27} (mas vamos calcular separadamente): 16H(L+W)=32\frac{V}{a}\approx 32\cdot\frac{6}{2{,}135}\approx32\cdot2{,}810\approx 89{,}92\\ (\$).
  • C_{\text{base}}=10\cdot a^2\approx 10\cdot 4{,}558\approx 45{,}58\\ (\$).
  • Solda: 1{,}2(L+W)+2{,}4H=2{,}4a+2{,}4\frac{V}{a^2}\approx 2{,}4\cdot 2{,}135 +2{,}4\cdot\frac{6}{4{,}558}\approx5{,}124+3{,}162\approx 8{,}286\\ (\$) — observe que esse valor é baixo pois o custo por metro é pequeno.
  • Tampas: 50n=50\cdot 2=100\\ (\$).
    Somando (aproximadamente):
C_{\text{total}}\approx 89{,}92+45{,}58+8{,}29+100\approx 243{,}79\\ (\$).
(Arredondamentos feitos para apresentar ordem de grandeza; a contribuição dominante aqui é o custo das tampas e das paredes.)

Passo 8

Conclusões, interpretação e observações práticas:
  • Sob as hipóteses (volume V=6{,}0\\ \text{m}^3, n=2 tampas, forma retangular, modelo de soldagem e preços dados), as dimensões que minimizam o custo são aproximadamente:
L=W\approx 2{,}135\\ \text{m},\qquad H\approx 1{,}316\\ \text{m}.
  • Se você alterar o volume pedido V (por exemplo V=8\\ \text{m}^3 ou outro), as proporções mudam um pouco; o procedimento é o mesmo: resolver a equação da derivada
20a+2{,}4-32\frac{V}{a^2}-4{,}8\frac{V}{a^3}=0
para a e então H=V/a^2. Posso recalcular para qualquer V que você queira.
  • Se o número de tampas n for diferente (por exemplo n=1), o termo constante 50n muda e isso altera levemente as dimensões ótimas (principalmente para volumes pequenos, pois o custo fixo das tampas torna relativamente mais importante escolher dimensões que reduzam o número de tampas ou a área das chapas). Para volumes grandes, os termos proporcionais à área predominam e o efeito do custo fixo das tampas diminui.
  • Considerações construtivas: eu ignorei recobrimentos, margens de dobra, reforços, cantos arredondados, espessura efetiva nas dimensões internas, e perdas por corte. Esses fatores mudam ligeiramente áreas e comprimento de solda; em projeto real incluiria um coeficiente de perda por corte/dobra (ex.: +5–10% de área) e consideraria reforços estruturais que aumentariam a solda. Se desejar, posso incorporar um fator de perda percentual ou um modelo mais detalhado de soldagem e recalcular.

Resposta

L\approx 2{,}135\\ \text{m}, W\approx 2{,}135\\ \text{m}, H\approx 1{,}316\\ \text{m}

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