Para esse projeto, inicialmente localizamos uma caçamba de entulho retangular para estudar sua forma e construção. Tentaremos então determinar as dimensões de um recipiente de forma similar e que minimize o custo de construção.
2. Mantendo a mesma forma geral e o método de construção, determine as dimensões que tal recipiente deveria ter para minimizar o custo de construção. Utilize as seguintes hipóteses para sua análise:
- Os lados, a parte de trás e a da frente devem ser feitos com folhas de aço de tipo 12 (2,657 mm de espessura), que custam
8,00$ por metro quadrado (incluindo quaisquer cortes ou dobras necessários).
- A base deve ser feita de uma folha de aço de tipo 10 (
de espessura), que custa
10,00$ por metro quadrado.
- As tampas custam aproximadamente
50,00$ cada, independentemente das dimensões.
- A soldagem custa aproximadamente
0,60$ por metro para material e serviço combinados.
Dê sua justificativa para qualquer hipótese adicional ou simplificação feita dos detalhes de construção.
2. Mantendo a mesma forma geral e o método de construção, determine as dimensões que tal recipiente deveria ter para minimizar o custo de construção. Utilize as seguintes hipóteses para sua análise:
Passo 1
O problema pede que eu determine as dimensões de um recipiente retangular (tipo caçamba) que minimize o custo de construção, usando as hipóteses de materiais, custos de tampas e custo de solda dadas. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
O enunciado não deu um volume alvo nem quantas tampas existem, então devo fazer hipóteses adicionais (e justificá‑las) para poder encontrar dimensões concretas. Vou declarar e justificar essas hipóteses antes de resolver.
Hipóteses adicionais que adoto e justificativa:
- Vou exigir um volume útil fixo
para a caçamba (problema clássico de otimização: minimizar custo para volume fixo). Sem um volume alvo não se pode achar dimensões numéricas. Para obter um exemplo concreto e prático, escolho um volume típico de caçamba pequena de obra: . Justifico: caçambas pequenas costumam ficar entre e ; é um valor razoável para exemplificar a otimização. Se você quiser outro , eu repito os cálculos com esse valor. - Presumo que a caçamba seja um paralelepípedo retangular com tampas no topo. Justifico: “mesma forma geral” do enunciado sugere retângulos planos montados por chapas.
- Presumo que a caçamba terá
tampas (duas abas que cobrem o topo, comum em caçambas). O custo das tampas entra então como . - Para calcular o comprimento de solda, presumo que se solde: as junções verticais entre as chapas laterais e frente/trás (4 arestas verticais, cada uma de comprimento
) e a junção da base com as laterais (perímetro da base, comprimento ). Não conto soldas adicionais em tampas (supõe‑se que estão com dobradiças/fixação coberta pelo preço da tampa). Esta é uma simplificação razoável para obter uma estimativa do custo de solda total. - Ignoro a influência prática da espessura dos painéis nas dimensões internas (espessuras dadas são pequenas:
e ) — ou seja, considero as áreas e perímetros calculados com as dimensões externas do paralelepípedo. Justifico: espessuras são pequenas e a questão pede otimização de custo principal; incluir espessura complica pouco e altera pouco o resultado qualitativo.
Variáveis a definir:
Passo 2
Escrever as expressões geométricas básicas (áreas e comprimento de solda) em função de
.
Áreas das chapas (superfícies planas):
- Duas laterais (esquerda e direita): cada uma tem área
. As duas juntas: . - Frente e trás: cada uma tem área
. As duas juntas: . - Soma das quatro paredes laterais (frente+trás+duas laterais):
. - Base:
. - Topo será coberto por tampas, mas o custo das tampas é fixo por unidade, não depende da área (segundo enunciado).
Comprimento total de solda (hipótese feita no passo 1):
- Junções base↔paredes: perímetro da base
. - Junções verticais entre chapas laterais (4 cantos):
. - Comprimento total de solda:
Passo 3
Escrever a função custo total
usando os preços dados e as expressões do passo anterior.
Custos:
- Custo das paredes (tipo 12,
):
- Custo da base (tipo 10,
):
- Custo das tampas:
- Custo de solda (
):
Somando tudo:
Condição de volume fixo:
O objetivo: minimizar
sujeito à restrição
.
Passo 4
Redução usando simetria. Observe que a função
é simétrica em
e
: as aparições de
e
são trocáveis sem alterar
(áreas de paredes e perímetro dependem de
; a base depende de
; restrição de volume depende de
). Para problemas simétricos deste tipo, um argumento padrão (e justificado por convexidade típica desses termos) é que, para um mínimo, devemos ter
. Intuitivamente: se
podemos “equalizar”
e
mantendo
fixo para obter menor soma
(média aritmética minimizada quando as dimensões são iguais para produto fixo), o que tende a reduzir custos que dependem de
. Portanto assumimos a solução com
.
Defina
. Então
Reescrevemos
como função de uma variável
(com
e
dados):
Base:
. Perímetro:
. Termo
.
Assim
Agora temos um problema de otimização unidimensional: minimizar
para
com
e
dados.
Passo 5
Derivar
e encontrar condição de ótimo (derivada nula). Vou mostrar passo a passo o cálculo da derivada e a equação necessária.
Derivada de cada termo:
Logo a condição de primeira ordem
dá
Para resolver numericamente essa equação para
preciso de
e
. Vou usar as escolhas feitas no Passo 1:
e
.
Substituindo
:
Multiplicando por
para obter um polinômio:
Esta é uma equação polinomial de grau 4 que resolveremos numericamente (não há necessidade de soluções fechadas nesse ponto; usamos métodos numéricos ou tentativa e erro para encontrar a raiz positiva apropriada que minimiza
).
Passo 6
Resolver numericamente a equação do passo anterior. Vou fazer uma busca por aproximação (método da bisecção/interpolação simples) e apresento as contas essenciais.
Avaliação da função
Testes rápidos mostram:
Como
e
, existe uma raiz entre
e
.
Fazendo aproximações sucessivas (tentar
por interpolação) obtemos
Portanto uma boa aproximação da solução positiva é
Passo 7
Calcular
e verificar dimensões, além do custo total e uma verificação de mínimo (segunda derivada) de maneira qualitativa.
Altura:
Portanto as dimensões ótimas (sob as hipóteses adotadas) são aproximadamente:
Verificação qualitativa de mínimo: a função
é a soma de um termo crescente em
, termos decrescentes em
e
e um termo linear; para
e
o custo vai a
, logo uma raiz da derivada corresponde a mínimo local global. A proximidade dos sinais e a mudança de sinal na derivada confirmam que a raiz encontrada é o ponto mínimo.
Cálculo aproximado do custo total (para dar uma ideia numérica):
-
(mas vamos calcular separadamente):
-
- Solda:
— observe que esse valor é baixo pois o custo por metro é pequeno. - Tampas:
.
Somando (aproximadamente):
(Arredondamentos feitos para apresentar ordem de grandeza; a contribuição dominante aqui é o custo das tampas e das paredes.)
Passo 8
Conclusões, interpretação e observações práticas:
- Sob as hipóteses (volume
, tampas, forma retangular, modelo de soldagem e preços dados), as dimensões que minimizam o custo são aproximadamente:
- Se você alterar o volume pedido
(por exemplo ou outro), as proporções mudam um pouco; o procedimento é o mesmo: resolver a equação da derivada
para
e então
. Posso recalcular para qualquer
que você queira.
- Se o número de tampas
for diferente (por exemplo ), o termo constante muda e isso altera levemente as dimensões ótimas (principalmente para volumes pequenos, pois o custo fixo das tampas torna relativamente mais importante escolher dimensões que reduzam o número de tampas ou a área das chapas). Para volumes grandes, os termos proporcionais à área predominam e o efeito do custo fixo das tampas diminui. - Considerações construtivas: eu ignorei recobrimentos, margens de dobra, reforços, cantos arredondados, espessura efetiva nas dimensões internas, e perdas por corte. Esses fatores mudam ligeiramente áreas e comprimento de solda; em projeto real incluiria um coeficiente de perda por corte/dobra (ex.: +5–10% de área) e consideraria reforços estruturais que aumentariam a solda. Se desejar, posso incorporar um fator de perda percentual ou um modelo mais detalhado de soldagem e recalcular.