Use the method of cylindrical shells to find the volume generated by rotating the region bounded by the given curves about the specified axis.
; about the
-axis
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar a região limitada por
,
e
em torno do eixo
. As informações relevantes são:
O enunciado instrui a usar o método das cascas cilíndricas (cylindrical shells). O objetivo final é calcular o volume numérico do sólido.
Passo 2
Explicando o método das cascas cilíndricas (passo-a-passo didático e concreto):
- Imagine uma fita vertical em
com espessura infinitesimal . Ao girá-la em torno do eixo , ela gera uma casca cilíndrica. - Cada casca tem:
- raio igual à distância do eixo
até a fita, que é ; - altura igual à diferença entre a curva superior e a inferior, que é
; - espessura
.
- raio igual à distância do eixo
- O volume de uma casca fina é aproximadamente área da superfície lateral vezes espessura:
- Somando (integrando) todas as cascas de
a obtemos o volume total:
Passo 3
Agora vamos calcular a integral
Para integrar
usamos integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
onde escolhemos
para simplificar ao derivar e
para ser fácil de integrar.
Escolhemos
Passo 4
Calculemos
. Fazer a substituição
dá
ou
. Assim
Agora aplicação da integração por partes:
Integramos
novamente pela substituição anterior:
Logo
Passo 5
Agora avaliamos a integral definida de
a
:
Calculemos os termos em
e
:
- Para
: e , então o valor é . - Para
: e , então o valor é .
Subtraindo, obtemos
Passo 6
Multiplicando pelo fator
que estava fora da integral, o volume fica
Verificação rápida (intuitiva):
dá
, então
, resultado positivo e razoável para um sólido gerado por rotação dessa região pequena — parece consistente.