Use the method of cylindrical shells to find the volume generated by rotating the region bounded by the given curves about the specified axis.
y=\cos (\pi x / 2), y=0,0 \leqslant x \leqslant 1; about the y-axis

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar a região limitada por y=\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right), y=0 e 0\leqslant x\leqslant 1 em torno do eixo y. As informações relevantes são:
\text{curva superior: } y=\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right), \quad \text{curva inferior: } y=0, \quad \text{intervalo em } x: 0\le x\le 1, \quad \text{eixo de rotação: } y\text{-axis}.çã
O enunciado instrui a usar o método das cascas cilíndricas (cylindrical shells). O objetivo final é calcular o volume numérico do sólido.

Passo 2

Explicando o método das cascas cilíndricas (passo-a-passo didático e concreto):
  • Imagine uma fita vertical em x com espessura infinitesimal dx. Ao girá-la em torno do eixo y, ela gera uma casca cilíndrica.
  • Cada casca tem:
    • raio igual à distância do eixo y até a fita, que é r=x;
    • altura igual à diferença entre a curva superior e a inferior, que é h=y_{\text{top}}-y_{\text{bot}}=\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)-0=\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right);
    • espessura dx.
  • O volume de uma casca fina é aproximadamente área da superfície lateral vezes espessura: dV = (\text{circunferência})\times(\text{altura})\times(\text{espessura}) = 2\pi r\cdot h\cdot dx = 2\pi x\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)dx.ê
  • Somando (integrando) todas as cascas de x=0 a x=1 obtemos o volume total: V = 2\pi\int_{0}^{1} x\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\,dx.

Passo 3

Agora vamos calcular a integral
V = 2\pi\int_{0}^{1} x\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\,dx.
Para integrar \int x\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\,dx usamos integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde escolhemos u para simplificar ao derivar e dv para ser fácil de integrar.
Escolhemos
u = x\quad\Rightarrow\quad du = dx,
dv = \cos\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\,dx\quad\Rightarrow\quad v=\int \cos\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\,dx.

Passo 4

Calculemos v. Fazer a substituição t=\dfrac{\pi x}{2} dt=\dfrac{\pi}{2}dx ou dx=\dfrac{2}{\pi}dt. Assim
v=\int \cos\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)dx = \int \cos t\cdot \dfrac{2}{\pi}\,dt = \dfrac{2}{\pi}\sin t = \dfrac{2}{\pi}\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right).
Agora aplicação da integração por partes:
\int x\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\,dx = x\cdot \dfrac{2}{\pi}\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right) - \int \dfrac{2}{\pi}\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\,dx.
Integramos \sin\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right) novamente pela substituição anterior:
\int \sin\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\,dx = -\dfrac{2}{\pi}\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right).
Logo
\int x\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\,dx = \dfrac{2}{\pi}x\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right) - \dfrac{2}{\pi}\left(-\dfrac{2}{\pi}\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\right) = \dfrac{2}{\pi}x\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right) + \dfrac{4}{\pi^{2}}\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right) + C.

Passo 5

Agora avaliamos a integral definida de 0 a 1:
\int_{0}^{1} x\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\,dx = \left[\dfrac{2}{\pi}x\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right) + \dfrac{4}{\pi^{2}}\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\right]_{0}^{1}.
Calculemos os termos em x=1 e x=0:
  • Para x=1: \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1 e \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0, então o valor é \dfrac{2}{\pi}\cdot 1\cdot 1 + \dfrac{4}{\pi^{2}}\cdot 0 = \dfrac{2}{\pi}.
  • Para x=0: \sin 0=0 e \cos 0=1, então o valor é 0 + \dfrac{4}{\pi^{2}}\cdot 1 = \dfrac{4}{\pi^{2}}.
    Subtraindo, obtemos
\int_{0}^{1} x\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\,dx = \dfrac{2}{\pi} - \dfrac{4}{\pi^{2}}.

Passo 6

Multiplicando pelo fator 2\pi que estava fora da integral, o volume fica
V = 2\pi\left(\dfrac{2}{\pi} - \dfrac{4}{\pi^{2}}\right) = 2\pi\cdot\dfrac{2}{\pi} - 2\pi\cdot\dfrac{4}{\pi^{2}} = 4 - \dfrac{8}{\pi}.
Verificação rápida (intuitiva): \pi\approx 3{,}1416 8/\pi\approx2{,}546, então V\approx 1{,}454, resultado positivo e razoável para um sólido gerado por rotação dessa região pequena — parece consistente.

Resposta

\;4-\dfrac{8}{\pi}

Exercícios relacionados