O projeto preliminar de um eixo de transmissão levou à escolha de uma barra de seção vazada com diâmetro interno de 100 mm e diâmetro externo de 150 mm . Pede-se determinar o máximo torque que
J=\frac{1}{2} \pi\left(c_{2}^{4}-c_{1}^{4}\right)poderá ser transmitido sendo a tensão admissível do material igual a 83 MPa , nas seguintes situações:
b) supondo um eixo sólido maciço de mesmo peso do anteprojeto.
\tau_{\max }=\frac{T c}{J} \quad \text { e } \quad \tau=\frac{T \rho}{J}

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pede-se o torque máximo T' que um eixo sólido maciço pode transmitir, supondo que ele tenha o mesmo peso (mesma massa linear) do anteprojeto: uma barra de seção vazada com diâmetro interno 100\\ \text{mm} e diâmetro externo 150\\ \text{mm}.
  • Dados do problema: \begin{aligned} &\text{diâmetro interno} = 100\\ \text{mm},\\\ &\text{diâmetro externo} = 150\\ \text{mm},\\\ &\text{tensão admissível de cisalhamento} = 83\\ \text{MPa}. \end{aligned}ââãí
  • Fórmulas fornecidas (e que usaremos): J=\frac{1}{2}\pi\left(c_{2}^{4}-c_{1}^{4}\right), \qquad \tau_{\max}=\frac{T\,c}{J}.
  • Observação importante (para este item): “mesmo peso” implica mesma área da seção transversal (mesmo volume por comprimento), portanto a área do eixo sólido deve ser igual à área da seção vazada do anteprojeto. Neste passo apenas listei o pedido e os dados; a resolução começa no passo seguinte.

Passo 2

Encontrar as dimensões do eixo sólido que tenha o mesmo peso (mesma área) da seção vazada.
  • Converter diâmetros em raios (toda grandeza geométrica será em mm): c_2=\frac{150}{2}=75\\ \text{mm},\qquad c_1=\frac{100}{2}=50\\ \text{mm}.
  • Área da seção vazada: A_{\text{vazada}}=\pi\left(c_2^{2}-c_1^{2}\right).
  • Para o eixo sólido de raio c_s a área é A_{\text{sólido}}=\pi c_s^{2}ó. Igualando áreas (mesmo peso): \pi c_s^{2}=\pi\left(c_2^{2}-c_1^{2}\right)\quad\Rightarrow\quad c_s^{2}=c_2^{2}-c_1^{2}.
  • Calcular numericamente: c_2^{2}=75^{2}=5625,\qquad c_1^{2}=50^{2}=2500,
c_s^{2}=5625-2500=3125\quad\Rightarrow\quad c_s=\sqrt{3125}=25\sqrt{5}\approx55{,}901699\\ \text{mm}.
(ou seja, o eixo sólido teria raio aproximadamente 55{,}9017\\ \text{mm}, diâmetro cerca de 111{,}8034\\ \text{mm}).

Passo 3

Relembrar e explicar a fórmula de tensão por torção e o momento polar para seção circular maciça.
  • A relação entre torque T, tensão de cisalhamento máxima \tau_{\max}, raio externo c e momento polar de inércia J é: \tau_{\max}=\frac{T\,c}{J}.Explicação: em torção, a máxima tensão de cisalhamento ocorre na superfície externa (raio c) e cresce linearmente com o raio; a constante de proporcionalidade envolve J, que mede a “resistência geométrica” da seção à torção.
  • Para uma seção circular maciça de raio c o momento polar é J_{\text{sólido}}=\frac{1}{2}\pi c^{4}.ó(Note: esta expressão é um caso especial da fórmula dada para a seção vazada com c_1=0.)
  • Isolando T para a condição de tensão admissível \tau_{\text{adm}} obtemos o torque máximo transmissível: T_{\max}=\frac{\tau_{\text{adm}}\,J}{c}.Substituindo J_{\text{sólido}}=\tfrac{1}{2}\pi c^{4}ó obtemos (simplificando c^{4}/c=c^{3}): T_{\max}=\tau_{\text{adm}}\cdot\frac{1}{2}\pi c^{3}=\frac{\tau_{\text{adm}}\pi c^{3}}{2}.Aqui: \tau_{\text{adm}} é a tensão admissível (em \text{N}/\text{mm}^{2} ou \text{MPa}), c é o raio externo em mm, e o resultado de T_{\max} sai em \text{N}\cdot\text{mm}.

Passo 4

Aplicar a fórmula para o eixo sólido de raio c_s calculado e efetuar os cálculos passo a passo.
  • Já temos c_s\approx55{,}901699\\ \text{mm} e \tau_{\text{adm}}=83\\ \text{MPa}=83\\ \text{N}/\text{mm}^{2}.
  • Calcular c_s^{3}: c_s^{2}=3125,\qquad c_s^{3}=3125\cdot c_s=3125\cdot55{,}901699\approx174\,693{,}435742\\ \text{mm}^{3}.
  • Agora usar T_{\max}=\frac{\tau_{\text{adm}}\pi c_s^{3}}{2}.Substituindo valores: T_{\max}=\frac{83\cdot\pi\cdot174\,693{,}435742}{2}\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
  • Calcular numericamente (realizando a multiplicação e divisão): 83\cdot174\,693{,}435742\approx14\,499\,555{,}1666,
14\,499\,555{,}1666\cdot\pi\approx45\,551\,695{,}16,
T_{\max}\approx\frac{45\,551\,695{,}16}{2}\approx22\,775\,847{,}58\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
  • Converter para unidades usuais \text{N}\cdot\text{m} dividindo por 1000: T_{\max}\approx22\,775{,}85\\ \text{N}\cdot\text{m}\approx22{,}78\\ \text{kN}\cdot\text{m}.

Resposta

T'_{\max}\approx22{,}78\\ \text{kN}\cdot\text{m}

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