O projeto preliminar de um eixo de transmissão levou à escolha de uma barra de seção vazada com diâmetro interno de 100 mm e diâmetro externo de 150 mm . Pede-se determinar o máximo torque que
J=\frac{1}{2} \pi\left(c_{2}^{4}-c_{1}^{4}\right)poderá ser transmitido sendo a tensão admissível do material igual a 83 MPa , nas seguintes situações:
a) do projeto preliminar
J=\frac{1}{2} \pi c^{4}

Passo 1

O enunciado pede determinar o máximo torque que a barra pode transmitir, sabendo que a tensão cisalhante admissível do material é \,83\\ \text{MPa}. Os dados relevantes fornecidos são:
  • diâmetro externo da barra (do projeto preliminar): \,d=150\\ \text{mm} (isto segue da figura; o enunciado dá 150 mm);
  • a fórmula do momento polar de inércia para o caso do projeto preliminar (eixo maciço) é \;J=\tfrac{1}{2}\pi c^{4}, onde \;c é o raio externo;
  • tensão admissível (máxima) em cisalhamento: \;\tau_{\text{adm}}=83\\ \text{MPa}=\;83\\ \text{N}/\text{mm}^{2}.
    Nada mais é pedido nessa parte além do máximo torque transmitível para o caso do projeto preliminar (eixo maciço de diâmetro 150\\ \text{mm}).

Passo 2

Conceito fundamental e fórmula que vamos usar (aula rápida e mastigada).
  • Quando um eixo circular é submetido a um torque \;T, a tensão cortante máxima na superfície externa (raio \;c) é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J}.
Expliquei cada símbolo:
  • \tau_{\max} é a tensão de cisalhamento máxima (unidade: \text{N}/\text{mm}^{2} ou \text{MPa});
  • \;T é o torque aplicado (unidade: \text{N}\cdot\text{mm} ou \text{N}\cdot\text{m});
  • \;c é o raio externo do eixo (unidade: \text{mm} aqui);
  • \;J é o momento polar de inércia da seção transversal (unidade: \text{mm}^4).
    No problema nós conhecemos \tau_{\max} admissível e queremos \;T. Assim isolamos \;T:
T=\frac{\tau_{\max}\,J}{c}.
Portanto precisamos calcular \;J e usar \;c.

Passo 3

Cálculo de \;J para o eixo maciço de diâmetro \;d=150\\ \text{mm}.
  • Relação entre raio e diâmetro: \;c=\tfrac{d}{2}. Portanto \;c= \tfrac{150}{2}=75\\ \text{mm}.
  • A fórmula dada \;J=\tfrac{1}{2}\pi c^{4} pode ser reescrita em função de d como
J=\frac{\pi}{32}\,d^{4},
porque \;c^{4}=(d/2)^{4}=d^{4}/16 e \tfrac{1}{2}\pi\cdot\tfrac{d^{4}}{16}=\tfrac{\pi}{32}d^{4}.
  • Calcule d^{4}: \;d^{2}=150^{2}=22500 e \;d^{4}=22500^{2}=506\,250\,000\\ (\text{mm}^{4}).
  • Logo
J=\frac{\pi}{32}\,506\,250\,000\\ \text{mm}^{4}.
Agora avaliamos numericamente:
J \approx 15\,820\,312{,}5\cdot\pi \approx 49\,700\,977{,}5\\ \text{mm}^{4}.
(Deixei as contas mostradas: \;506\,250\,000/32=15\,820\,312{,}5, e multiplicando por \pi obtém-se o valor numérico acima.)

Passo 4

Voltar à fórmula do torque e isolar com os valores conhecidos.
  • A fórmula é \;T=\dfrac{\tau_{\max}\,J}{c}.
  • Substituindo \;\tau_{\max}=83\\ \text{N}/\text{mm}^{2}, \;J\approx49\,700\,977{,}5\\ \text{mm}^{4} e \;c=75\\ \text{mm}, obtemos
T=\frac{83\cdot 49\,700\,977{,}5}{75}\\ \text{N}\cdot\text{mm}.

Passo 5

Cálculo numérico final e conversão de unidades (explico a conversão).
  • Faça a divisão e multiplicação:
\frac{49\,700\,977{,}5}{75}\approx 662\,679{,}7003
e
T \approx 83\cdot 662\,679{,}7003 \approx 55\,002\,415{,}1\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
  • Para apresentar em \text{N}\cdot\text{m} (mais usual), dividimos por 1000:
T \approx 55\,002{,}4\\ \text{N}\cdot\text{m}\approx 55{,}0\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Interpretação: esse é o torque máximo que o eixo maciço de diâmetro 150\\ \text{mm} suportaria sem exceder a tensão cisalhante admissível de 83\\ \text{MPa}.

Passo 6

Verificação rápida de ordem de grandeza (para te deixar mais confiante):
  • Eixos grandes (centenas de mm) costumam dar torques na ordem de dezenas de kN·m quando a tensão admissível é da ordem de algumas dezenas de MPa — nosso resultado \sim 55\\ \text{kN}\cdot\text{m} está coerente com essa expectativa.
  • Lembrete prático para prova: sempre use unidades consistentes, aqui mantivemos \text{N}/\text{mm}^2 e \text{mm}, obtendo \text{N}\cdot\text{mm} e só então convertemos para \text{N}\cdot\text{m}.

Resposta

\;T_{\max}=55{,}0\\ \text{kN}\cdot\text{m}

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