Considere uma partícula cujo Hamiltoniano H\) (operador definido pela fórmula (D-10) do Capítulo I) é
\[H=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d x^{2}}-\alpha \delta(x)
onde \alpha é uma constante positiva cujas dimensões devem ser determinadas.
(a) Integre a equação de autovalores de H entre -\varepsilon e +\varepsilon. Fazendo \varepsilon \rightarrow 0, mostre que a derivada da autofunção \psi(x) apresenta uma descontinuidade em x=0 e determine-a em termos de \alpha, m e \psi(0).
(b) Admita que a energia E da partícula seja negativa (estado ligado). Nesse caso, \psi(x) pode ser escrita como:
Em seguida, usando a condição de que \psi(x) deve ser quadrado-integrável, determine os valores possíveis da energia. Calcule as funções de onda normalizadas correspondentes.
(c) Trace graficamente essas funções de onda. Dê uma ordem de grandeza para a sua largura \Delta x.
(d) Qual é a probabilidade d P(p) de que uma medida do momento da partícula, em um dos estados estacionários normalizados calculados acima, forneça um valor compreendido entre p e p+d p ?
Para que valor de p essa probabilidade é máxima? Em que domínio, de dimensão \Delta p, ela assume valores não desprezíveis? Dê uma ordem de grandeza para o produto \Delta x \Delta p.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, ponto a ponto.
O enunciado pede:
(a) integrar a equação de autovalores entre -\varepsilon e +\varepsilon, tomar \varepsilon\to0, mostrar que \psi'(x) tem descontinuidade em x=0 e determinar essa descontinuidade em termos de \alpha,m,\psi(0). Além disso, determinar as dimensões de \alpha.
(b) assumir energia E<0 (estado ligado), escrever as soluções em x<0 e x>0 como dadas, expressar \rho em termos de E,m, calcular a matriz M que relaciona os coeficientes por\binom{A_{2}}{A_{2}'}=M\binom{A_{1}}{A_{1}'},e então, usando que \psi deve ser quadrado-integrável, achar os valores possíveis de E e normalizar as funções de onda.
(c) desenhar qualitativamente as funções de onda e dar uma ordem de grandeza para a largura \Delta x.
(d) calcular a probabilidade diferencial dP(p) de obter momento entre p e p+dp nos estados ligados normalizados; achar o p onde essa probabilidade é máxima, estimar o domínio \Delta p onde ela é significativa e dar ordem de grandeza de \Delta x\,\Delta p.
Informações úteis que vamos usar (sem resolver ainda):
A equação de autovalores é a equação de Schrödinger estacionária
porque \varepsilon>0. O lado direito tende a zero quando \varepsilon\to0, desde que \psi(x) seja finita em x=0, pois a integral de E\psi sobre um intervalo que encolhe é O(\varepsilon) e desaparece no limite. Tomando \varepsilon\to0 obtemos a relação
Esta é a condição de descontinuidade da derivada de \psi em x=0 imposta pelo potencial delta.
Agora dimensões de \alpha. O termo -\alpha\delta(x) tem dimensão de energia. Como \delta(x) tem dimensão L^{-1}, segue que \alpha tem dimensão energy × length. Em unidades SI: [\alpha]=\text{J}\cdot\text{m} (ou equivalentemente \text{(kg m}^3\text{/s}^2)). Outra expressão prática: \alpha tem dimensão \hbar^{2}/m (energia × comprimento).
Passo 3
(b) Expressão de [\rho) em termos de E e m; cálculo da matriz M.
Para estados ligados temos E<0. Definimos \rho>0 por
\rho=\sqrt{\frac{-2mE}{\hbar^{2}}}.
Explicação: quando se substitui \psi\propto e^{kx} na equação livre (fora da delta) com E<0 obtém-se k^{2}=2m(-E)/\hbar^{2}, por isso k=\pm\rho.
As formas gerais dadas no enunciado (fora de x=0) são
Agora impondo quadrado-integrabilidade. Para x\to-\infty a função e^{-\rho x} diverge, porque x\to-\infty torna e^{-\rho x}\to +\infty; então é necessário que para x<0 o coeficiente de e^{-\rho x} seja zero, isto é A_{1}'=0. Para x\to+\infty a função e^{\rho x} diverge, portanto para x>0 é preciso A_{2}=0. Aplicando essas condições às fórmulas que relacionam os coeficientes, com A_{1}'=0 e A_{2}=0, obtemos da expressão de A_{2}:
(c) Forma gráfica qualitativa e ordem de grandeza da largura \Delta x.
A função \psi(x)=\sqrt{\rho}\,e^{-\rho|x|} é uma função par (simétrica), com máximo em x=0 de valor \psi(0)=\sqrt{\rho}, e decresce exponencialmente com comprimento de decaimento 1/\rho. O gráfico é um pico em x=0 com cauda exponencial em ambos os lados; a derivada tem uma descontinuidade em x=0 conforme vimos (salto linear na derivada).
Uma medida natural da largura espacial do estado ligado é o comprimento de decaimento
Análise da função: o denominador é mínimo (e |\varphi(p)|^{2} é máximo) quando p=0. Assim a probabilidade é máxima em
p=0.
A escala de p onde dP(p) é significativa pode ser estimada impondo (p/\hbar)^{2}\sim\rho^{2}, i.e. p\sim\hbar\rho. Logo a largura característica em momento é
Isto concorda com a desigualdade de incerteza e dá a ordem de grandeza esperada.
Resposta
(a) \psi'(0^+)-\psi'(0^-)= -\dfrac{2m\alpha}{\hbar^{2}}\psi(0).\qquad Dimensão de \alpha: energia \times comprimento (por ex. [\alpha]=\text{J}\cdot\text{m}), compatível com \hbar^{2}/m.
(b) \displaystyle \rho=\sqrt{\frac{-2mE}{\hbar^{2}}}. \displaystyle M=\begin{pmatrix}
1-\dfrac{m\alpha}{\rho\hbar^{2}} & -\dfrac{m\alpha}{\rho\hbar^{2}}\\[8pt]
\dfrac{m\alpha}{\rho\hbar^{2}} & 1+\dfrac{m\alpha}{\rho\hbar^{2}}
\end{pmatrix}.
Valor permitido da energia: \displaystyle E=-\frac{m\alpha^{2}}{2\hbar^{2}} (único estado ligado).
Função de onda normalizada: \displaystyle \psi(x)=\sqrt{\rho}\,e^{-\rho|x|},\quad \rho=\frac{m\alpha}{\hbar^{2}}.
(c) Gráfico: pico simétrico em x=0 com decaimento exponencial e^{-\rho|x|} (derivada descontínua em 0). Ordem de grandeza da largura: \displaystyle \Delta x\sim\frac{1}{\rho}=\frac{\hbar^{2}}{m\alpha}.
Probabilidade máxima em p=0. Largura característica em momento \Delta p\sim\hbar\rho=\dfrac{m\alpha}{\hbar}. Ordem de grandeza do produto: \Delta x\,\Delta p\sim\hbar.]