2. Estado ligado em um potencial delta

[Fundamental]

Considere uma partícula cujo Hamiltoniano H\) (operador definido pela fórmula (D-10) do Capítulo I) é \[H=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d x^{2}}-\alpha \delta(x)
onde \alpha é uma constante positiva cujas dimensões devem ser determinadas.
(a) Integre a equação de autovalores de H entre -\varepsilon e +\varepsilon. Fazendo \varepsilon \rightarrow 0, mostre que a derivada da autofunção \psi(x) apresenta uma descontinuidade em x=0 e determine-a em termos de \alpha, m e \psi(0).
(b) Admita que a energia E da partícula seja negativa (estado ligado). Nesse caso, \psi(x) pode ser escrita como:
\begin{cases}x<0: & \psi(x)=A_{1} e^{\rho x}+A_{1}^{\prime} e^{-\rho x} \\\ x>0: & \psi(x)=A_{2} e^{\rho x}+A_{2}^{\prime} e^{-\rho x}\end{cases}
Expresse a constante \rho\] em termos de \(E e de m. Utilizando os resultados da questão anterior, calcule a matriz M definida por
\binom{A_{2}}{A_{2}^{\prime}}=M\binom{A_{1}}{A_{1}^{\prime}} .
Em seguida, usando a condição de que \psi(x) deve ser quadrado-integrável, determine os valores possíveis da energia. Calcule as funções de onda normalizadas correspondentes.
(c) Trace graficamente essas funções de onda. Dê uma ordem de grandeza para a sua largura \Delta x.
(d) Qual é a probabilidade d P(p) de que uma medida do momento da partícula, em um dos estados estacionários normalizados calculados acima, forneça um valor compreendido entre p e p+d p ?
Para que valor de p essa probabilidade é máxima? Em que domínio, de dimensão \Delta p, ela assume valores não desprezíveis? Dê uma ordem de grandeza para o produto \Delta x \Delta p.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, ponto a ponto.
  • Dado: o Hamiltoniano é
H=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}-\alpha\delta(x),
com \alpha>0.
  • O enunciado pede:
    (a) integrar a equação de autovalores entre -\varepsilon e +\varepsilon, tomar \varepsilon\to0, mostrar que \psi'(x) tem descontinuidade em x=0 e determinar essa descontinuidade em termos de \alpha,m,\psi(0). Além disso, determinar as dimensões de \alpha.
    (b) assumir energia E<0 (estado ligado), escrever as soluções em x<0 e x>0 como dadas, expressar \rho em termos de E,m, calcular a matriz M que relaciona os coeficientes por \binom{A_{2}}{A_{2}'}=M\binom{A_{1}}{A_{1}'},e então, usando que \psi deve ser quadrado-integrável, achar os valores possíveis de E e normalizar as funções de onda.
    (c) desenhar qualitativamente as funções de onda e dar uma ordem de grandeza para a largura \Delta x.
    (d) calcular a probabilidade diferencial dP(p) de obter momento entre p e p+dp nos estados ligados normalizados; achar o p onde essa probabilidade é máxima, estimar o domínio \Delta p onde ela é significativa e dar ordem de grandeza de \Delta x\,\Delta p.
Informações úteis que vamos usar (sem resolver ainda):
  • A equação de autovalores é a equação de Schrödinger estacionária
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)-\alpha\delta(x)\psi(x)=E\psi(x).
  • A função delta \delta(x) tem dimensão 1/\text{comprimento}, e \alpha deve ter dimensão tal que \alpha\delta(x) seja uma energia.

Passo 2

(a) Integração da equação entre -\varepsilon e +\varepsilon e derivação da condição de descontinuidade.
Escrevemos a equação de autovalores em forma explícita:
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)-\alpha\delta(x)\psi(x)=E\psi(x).
Integramos ambos os lados em x de -\varepsilon a +\varepsilon:
\int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon}\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)\right)dx-\alpha\int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon}\delta(x)\psi(x)\,dx=\int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon}E\psi(x)\,dx.
A primeira integral pode ser avaliada por primitiva:
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\left[\psi'(x)\right]_{-\varepsilon}^{+\varepsilon}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\big(\psi'(+\varepsilon)-\psi'(-\varepsilon)\big).
A segunda integral com a delta pega o valor em x=0:
\int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon}\delta(x)\psi(x)\,dx=\psi(0),
porque \varepsilon>0. O lado direito tende a zero quando \varepsilon\to0, desde que \psi(x) seja finita em x=0, pois a integral de E\psi sobre um intervalo que encolhe é O(\varepsilon) e desaparece no limite. Tomando \varepsilon\to0 obtemos a relação
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\big(\psi'(0^+)-\psi'(0^-)\big)-\alpha\psi(0)=0.
Isolando a diferença das derivadas:
\psi'(0^+)-\psi'(0^-)= -\frac{2m\alpha}{\hbar^{2}}\psi(0).
Esta é a condição de descontinuidade da derivada de \psi em x=0 imposta pelo potencial delta.
Agora dimensões de \alpha. O termo -\alpha\delta(x) tem dimensão de energia. Como \delta(x) tem dimensão L^{-1}, segue que \alpha tem dimensão energy × length. Em unidades SI: [\alpha]=\text{J}\cdot\text{m} (ou equivalentemente \text{(kg m}^3\text{/s}^2)). Outra expressão prática: \alpha tem dimensão \hbar^{2}/m (energia × comprimento).

Passo 3

(b) Expressão de [\rho) em termos de E e m; cálculo da matriz M.
Para estados ligados temos E<0. Definimos \rho>0 por
\rho=\sqrt{\frac{-2mE}{\hbar^{2}}}.
Explicação: quando se substitui \psi\propto e^{kx} na equação livre (fora da delta) com E<0 obtém-se k^{2}=2m(-E)/\hbar^{2}, por isso k=\pm\rho.
As formas gerais dadas no enunciado (fora de x=0) são
\begin{cases} x<0: & \psi(x)=A_{1} e^{\rho x}+A_{1}' e^{-\rho x},\\[4pt] x>0: & \psi(x)=A_{2} e^{\rho x}+A_{2}' e^{-\rho x}. \end{cases}
Continuidade de \psi\] em \[x=0
A_{1}+A_{1}'=A_{2}+A_{2}'.
As derivadas laterais em x=0 são
\psi'(0^-)=\rho(A_{1}-A_{1}'),\qquad \psi'(0^+)=\rho(A_{2}-A_{2}').
A condição de salto obtida no Passo 2 fornece
\psi'(0^+)-\psi'(0^-)=\rho\big((A_{2}-A_{2}')-(A_{1}-A_{1}')\big)=-\frac{2m\alpha}{\hbar^{2}}\psi(0).
Como \psi(0)=A_{1}+A_{1}' (pela continuidade), reorganizamos:
(A_{2}-A_{2}')=(A_{1}-A_{1}')-\frac{2m\alpha}{\rho\hbar^{2}}(A_{1}+A_{1}').
Agora temos um sistema linear para (A_{2},A_{2}') em função de (A_{1},A_{1}'):
\begin{cases} A_{2}+A_{2}'=A_{1}+A_{1}',\\[4pt] A_{2}-A_{2}'=(A_{1}-A_{1}')-\dfrac{2m\alpha}{\rho\hbar^{2}}(A_{1}+A_{1}'). \end{cases}
Somando e subtraindo essas equações obtemos explicitamente:
A_{2}=A_{1}-\frac{m\alpha}{\rho\hbar^{2}}(A_{1}+A_{1}'),
A_{2}'=A_{1}'+\frac{m\alpha}{\rho\hbar^{2}}(A_{1}+A_{1}').
Assim a matriz M\] que satisfaz \[\binom{A_{2}}{A_{2}'}=M\binom{A_{1}}{A_{1}'} é
M=\begin{pmatrix} 1-\dfrac{m\alpha}{\rho\hbar^{2}} & -\dfrac{m\alpha}{\rho\hbar^{2}}\\[8pt] \dfrac{m\alpha}{\rho\hbar^{2}} & 1+\dfrac{m\alpha}{\rho\hbar^{2}} \end{pmatrix}.
Agora impondo quadrado-integrabilidade. Para x\to-\infty a função e^{-\rho x} diverge, porque x\to-\infty torna e^{-\rho x}\to +\infty; então é necessário que para x<0 o coeficiente de e^{-\rho x} seja zero, isto é A_{1}'=0. Para x\to+\infty a função e^{\rho x} diverge, portanto para x>0 é preciso A_{2}=0. Aplicando essas condições às fórmulas que relacionam os coeficientes, com A_{1}'=0 e A_{2}=0, obtemos da expressão de A_{2}:
0=A_{2}=A_{1}-\frac{m\alpha}{\rho\hbar^{2}}(A_{1}+0)=A_{1}\left(1-\frac{m\alpha}{\rho\hbar^{2}}\right).
Para ter solução não-trivial ( A_{1}\neq0) é necessário
1-\frac{m\alpha}{\rho\hbar^{2}}=0\quad\Rightarrow\quad \rho=\frac{m\alpha}{\hbar^{2}}.
Usando a relação entre \rho e E,
\rho=\sqrt{\frac{-2mE}{\hbar^{2}}}=\frac{m\alpha}{\hbar^{2}},
segue-se que o único valor permitido de energia é
E=-\frac{\hbar^{2}\rho^{2}}{2m}=-\frac{m\alpha^{2}}{2\hbar^{2}}.
Portanto existe um único estado ligado (energia negativa única).
Agora a função de onda (com A_{1}'=0 e A_{2}=0) tem a forma, escrevendo C\equiv A_{1}=A_{2}'=\psi(0),
\psi(x)=\begin{cases} C\,e^{\rho x}, & x<0,\\[4pt] C\,e^{-\rho x}, & x>0, \end{cases}
com (\rho=\dfrac{m\alpha}{\hbar^{2}}].
Normalização: calculamos C exigindo \int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^{2}dx=1. Temos
\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^{2}dx=|C|^{2}\left(\int_{-\infty}^{0}e^{2\rho x}dx+\int_{0}^{\infty}e^{-2\rho x}dx\right) =|C|^{2}\left(\frac{1}{2\rho}+\frac{1}{2\rho}\right)=\frac{|C|^{2}}{\rho}.
Portanto |C|^{2}\!/\rho=1, ou seja |C|^{2}=\rho. Escolhendo fase tal que C real e positiva,
C=\sqrt{\rho}.
Assim a função de onda normalizada é
\psi(x)=\sqrt{\rho}\,e^{-\rho|x|},\qquad \rho=\frac{m\alpha}{\hbar^{2}},\qquad E=-\frac{m\alpha^{2}}{2\hbar^{2}}.]

Passo 4

(c) Forma gráfica qualitativa e ordem de grandeza da largura \Delta x.
A função \psi(x)=\sqrt{\rho}\,e^{-\rho|x|} é uma função par (simétrica), com máximo em x=0 de valor \psi(0)=\sqrt{\rho}, e decresce exponencialmente com comprimento de decaimento 1/\rho. O gráfico é um pico em x=0 com cauda exponencial em ambos os lados; a derivada tem uma descontinuidade em x=0 conforme vimos (salto linear na derivada).
Uma medida natural da largura espacial do estado ligado é o comprimento de decaimento
\Delta x\sim\frac{1}{\rho}=\frac{\hbar^{2}}{m\alpha}.
Isto é a ordem de grandeza da região onde |\psi|^{2} é significativa.

Passo 5

(d) Probabilidade diferencial dP(p) para o momento, máximo e \Delta p; ordem de grandeza de \Delta x\,\Delta p.
O coeficiente de momento (transformada de Fourier) é, com a convenção usual de normalização unidimensional,
\varphi(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ipx/\hbar}\psi(x)\,dx.
Substituindo \psi(x)=\sqrt{\rho}\,e^{-\rho|x|} e calculando a integral:
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ipx/\hbar}e^{-\rho|x|}dx =2\int_{0}^{\infty}e^{-\rho x}\cos\!\left(\frac{p x}{\hbar}\right)dx =2\cdot\frac{\rho}{\rho^{2}+(p/\hbar)^{2}},
onde se usou a integral conhecida \int_{0}^{\infty}e^{-ax}\cos(bx)dx=\dfrac{a}{a^{2}+b^{2}} para a>0. Logo
\varphi(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\sqrt{\rho}\cdot\frac{2\rho}{\rho^{2}+(p/\hbar)^{2}} =\sqrt{\frac{\rho}{2\pi\hbar}}\cdot\frac{2\rho}{\rho^{2}+(p/\hbar)^{2}}.
A probabilidade diferencial de medir momento entre p e p+dp é
dP(p)=|\varphi(p)|^{2}dp.
Calculando o quadrado do módulo obtemos
|\varphi(p)|^{2}=\frac{1}{2\pi\hbar}\,\rho\cdot\frac{4\rho^{2}}{\big(\rho^{2}+(p/\hbar)^{2}\big)^{2}} =\frac{2\rho^{3}}{\pi\hbar}\cdot\frac{1}{\big(\rho^{2}+(p/\hbar)^{2}\big)^{2}}.
Portanto
dP(p)=\frac{2\rho^{3}}{\pi\hbar}\,\frac{dp}{\big(\rho^{2}+(p/\hbar)^{2}\big)^{2}}.
Análise da função: o denominador é mínimo (e |\varphi(p)|^{2} é máximo) quando p=0. Assim a probabilidade é máxima em
p=0.
A escala de p onde dP(p) é significativa pode ser estimada impondo (p/\hbar)^{2}\sim\rho^{2}, i.e. p\sim\hbar\rho. Logo a largura característica em momento é
\Delta p\sim\hbar\rho=\hbar\frac{m\alpha}{\hbar^{2}}=\frac{m\alpha}{\hbar}.
Finalmente, o produto das ordens de grandeza é
\Delta x\,\Delta p\sim\frac{1}{\rho}\cdot(\hbar\rho)=\hbar.
Isto concorda com a desigualdade de incerteza e dá a ordem de grandeza esperada.

Resposta

(a) \psi'(0^+)-\psi'(0^-)= -\dfrac{2m\alpha}{\hbar^{2}}\psi(0). \qquad Dimensão de \alpha: energia \times comprimento (por ex. [\alpha]=\text{J}\cdot\text{m}), compatível com \hbar^{2}/m.
(b) \displaystyle \rho=\sqrt{\frac{-2mE}{\hbar^{2}}}.
\displaystyle M=\begin{pmatrix} 1-\dfrac{m\alpha}{\rho\hbar^{2}} & -\dfrac{m\alpha}{\rho\hbar^{2}}\\[8pt] \dfrac{m\alpha}{\rho\hbar^{2}} & 1+\dfrac{m\alpha}{\rho\hbar^{2}} \end{pmatrix}.
Valor permitido da energia: \displaystyle E=-\frac{m\alpha^{2}}{2\hbar^{2}} (único estado ligado).
Função de onda normalizada: \displaystyle \psi(x)=\sqrt{\rho}\,e^{-\rho|x|},\quad \rho=\frac{m\alpha}{\hbar^{2}}.
(c) Gráfico: pico simétrico em x=0 com decaimento exponencial e^{-\rho|x|} (derivada descontínua em 0). Ordem de grandeza da largura: \displaystyle \Delta x\sim\frac{1}{\rho}=\frac{\hbar^{2}}{m\alpha}.
(d) \displaystyle dP(p)=|\varphi(p)|^{2}dp, com
\varphi(p)=\sqrt{\frac{\rho}{2\pi\hbar}}\cdot\frac{2\rho}{\rho^{2}+(p/\hbar)^{2}}, \qquad dP(p)=\frac{2\rho^{3}}{\pi\hbar}\,\frac{dp}{\big(\rho^{2}+(p/\hbar)^{2}\big)^{2}}.
Probabilidade máxima em p=0. Largura característica em momento \Delta p\sim\hbar\rho=\dfrac{m\alpha}{\hbar}. Ordem de grandeza do produto: \Delta x\,\Delta p\sim\hbar.]

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