Quais das proposições seguintes são tautologias, quais são contradições e quais são contingências? Justifique.
(\exists x)(A(x) \wedge B(x)) \rightarrow[(\exists x) A(x) \wedge(\exists x) B(x)]

Passo 1

O enunciado pede para classificar a fórmula de lógica de predicados
(\exists x)\bigl(A(x)\wedge B(x)\bigr)\;\rightarrow\;\bigl[(\exists x)A(x)\wedge(\exists x)B(x)\bigr]
como sendo tautologia (válida em toda interpretação), contradição (sempre falsa) ou contingência (às vezes verdadeira, às vezes falsa). Vamos usar a semântica de quantificadores e implicação para analisar todos os casos.

Passo 2

Analisamos dois cenários em qualquer interpretação e qualquer domínio não vazio:
  1. Se \exists x\bigl(A(x)\wedge B(x)\bigr) for falsa, então o antecedente da implicação é falso e, por definição da implicação, toda fórmula da forma “falso \rightarrow …” é verdadeira.
  2. Se \exists x\bigl(A(x)\wedge B(x)\bigr) for verdadeira, então existe um certo elemento c no domínio tal que
    A\text{(c)}\quad\text{e}\quad B\text{(c)}.
    Esse mesmo c prova simultaneamente que \exists x\,A(x) é verdadeira e que \exists x\,B(x) é verdadeira. Logo o consequente
    (\exists x)A(x)\wedge(\exists x)B(x)
    também é verdadeiro.
Em todos os casos (antecedente falso ou antecedente verdadeiro) a implicação é verdadeira.

Resposta

A fórmula é uma tautologia.

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