Quais das proposições a seguir são tautologias, quais são contradições?
(p \wedge(p \rightarrow q)) \rightarrow q

Passo 1

O enunciado pede para identificar se a fórmula
(p \wedge (p \rightarrow q)) \rightarrow q
é uma tautologia (verdadeira para todas as valorações de p,q) ou uma contradição (falsa para todas as valorações). Vamos usar a tabela-verdade para verificar.

Passo 2

Construímos a tabela-verdade considerando todas as combinações de (p,q). Para cada caso calculamos p \rightarrow q, depois p \wedge (p \rightarrow q) e, por fim, (p \wedge (p \rightarrow q)) \rightarrow q.
Caso 1: p = V,\;q = V
\;p \rightarrow q = V
\;p \wedge (p \rightarrow q) = V \wedge V = V
\;(p \wedge (p \rightarrow q)) \rightarrow q = V \rightarrow V = V
Caso 2: p = V,\;q = F
\;p \rightarrow q = F
\;p \wedge (p \rightarrow q) = V \wedge F = F
\;(p \wedge (p \rightarrow q)) \rightarrow q = F \rightarrow F = V
Caso 3: p = F,\;q = V
\;p \rightarrow q = V
\;p \wedge (p \rightarrow q) = F \wedge V = F
\;(p \wedge (p \rightarrow q)) \rightarrow q = F \rightarrow V = V
Caso 4: p = F,\;q = F
\;p \rightarrow q = V
\;p \wedge (p \rightarrow q) = F \wedge V = F
\;(p \wedge (p \rightarrow q)) \rightarrow q = F \rightarrow F = V

Passo 3

Observamos que, em todos os quatro casos,
(p \wedge (p \rightarrow q)) \rightarrow q
é V. Como a fórmula é verdadeira para toda valoração de p,q, trata-se de uma tautologia.

Resposta

A proposição (p \wedge (p \rightarrow q)) \rightarrow q é uma tautologia.

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