Um próton-projétil com uma velocidade de
500 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
colide elasticamente com um próton-alvo, inicialmente em repouso. Os dois prótons se movem, então, ao longo de trajetórias perpendiculares, com a trajetória do projétil a 60 graus em relação ao sentido inicial. Após a colisão, quais são as velocidades (a) do próton-alvo e (b) do próton-projétil?

Passo 1

O enunciado dá uma colisão elástica entre dois prótons (mesma massa). Informações e o que é pedido:
  • Velocidade inicial do próton-projétil: u=500\\ \mathrm{m/s}.
  • Próton-alvo inicialmente em repouso.
  • Após a colisão, as trajetórias dos dois prótons são perpendiculares entre si.
  • A trajetória do próton-projétil forma \,60^\circ em relação ao sentido inicial.
    Pediram:
    (a) a velocidade do próton-alvo após a colisão;
    (b) a velocidade do próton-projétil após a colisão.

Passo 2

Estratégia e incógnitas — por que usar estas equações:
  • A colisão é elástica e as massas são iguais ( m para ambos), então se conservam o momento linear vetorial e a energia cinética.
  • São incógnitas as velocidades escalares após a colisão: v_1 para o projétil e v_2 para o alvo.
  • Vou decompor o momento nas componentes x (direção inicial) e y (perpendicular) e escrever:
\text{(momento em }x):\quad m v_1\cos\theta_1 + m v_2\cos\theta_2 = m u,
\text{(momento em }y):\quad m v_1\sin\theta_1 + m v_2\sin\theta_2 = 0,
\text{(energia):}\quad \tfrac{1}{2}m u^{2} = \tfrac{1}{2}m v_{1}^{2} + \tfrac{1}{2}m v_{2}^{2}.
Como as massas m cancelam, restam três equações para v_1, v_2 e as relações angulares. Sabemos \theta_1=60^\circ. Como as trajetórias são perpendiculares, \theta_2=\theta_1\pm90^\circ. Deve-se escolher o sinal que permite cancelamento da componente y e conservação do momento em x com resultados físicos (velocidades positivas). A escolha correta aqui será \theta_2=\theta_1-90^\circ=-30^\circ (isto corresponde ao alvo saindo 30^\circ abaixo da direção inicial).

Passo 3

Escrever as equações numéricas (m cancela):
v_1\cos\theta_1 + v_2\cos\theta_2 = u,
v_1\sin\theta_1 + v_2\sin\theta_2 = 0,
v_1^{2} + v_2^{2} = u^{2}.
Substituindo \theta_1=60^\circ e \theta_2=-30^\circ (pois são perpendiculares) e os valores das funções trigonométricas básicas:
\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos60^\circ=\frac{1}{2},
\sin(-30^\circ)=-\frac{1}{2},\qquad \cos(-30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Usar a equação do momento em y para relacionar v_1 e v_2:
v_1\sin60^\circ + v_2\sin(-30^\circ)=0
v_1\frac{\sqrt{3}}{2} + v_2\left(-\frac{1}{2}\right)=0
\frac{\sqrt{3}}{2}v_1 = \frac{1}{2}v_2
v_2 = \sqrt{3}\,v_1.
Explicação: essa conta vem de pedir que as componentes y das velocidades se cancelem — uma sobe, a outra desce — e daí surge a relação simples v_2=\sqrt{3}\,v_1.

Passo 5

Usar a conservação da energia cinética para determinar v_1:
v_1^{2}+v_2^{2}=u^{2}
Substituindo v_2=\sqrt{3}\,v_1:
v_1^{2}+(\sqrt{3}\,v_1)^{2}=u^{2}
v_1^{2}+3v_1^{2}=4v_1^{2}=u^{2}
v_1^{2}=\frac{u^{2}}{4}\quad\Rightarrow\quad v_1=\frac{u}{2}.
Com u=500\\ \mathrm{m/s} obtém-se
v_1=\frac{500}{2}=250\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular v_2 a partir de v_2=\sqrt{3}\,v_1:
v_2=\sqrt{3}\times 250 = 250\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 433{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Fazer uma checagem rápida usando a equação do momento em x:
v_1\cos60^\circ + v_2\cos(-30^\circ) = 250\cdot\frac{1}{2} + 250\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
=125 + 250\cdot\frac{3}{2} =125 + 375 =500 = u,
portanto satisfaz a conservação do momento em x. Tudo confere.

Resposta

(a) v_{\text{alvo}}=250\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 433{,}0\\ \mathrm{m/s}
(b) v_{\text{projétil}}=250\\ \mathrm{m/s}é

Exercícios relacionados