Um próton-projétil com uma velocidade de
500 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
colide elasticamente com um próton-alvo, inicialmente em repouso. Os dois prótons se movem, então, ao longo de trajetórias perpendiculares, com a trajetória do projétil a 60 graus em relação ao sentido inicial. Após a colisão, quais são as velocidades (a) do próton-alvo e (b) do próton-projétil?
500 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
colide elasticamente com um próton-alvo, inicialmente em repouso. Os dois prótons se movem, então, ao longo de trajetórias perpendiculares, com a trajetória do projétil a 60 graus em relação ao sentido inicial. Após a colisão, quais são as velocidades (a) do próton-alvo e (b) do próton-projétil?
Passo 1
O enunciado dá uma colisão elástica entre dois prótons (mesma massa). Informações e o que é pedido:
- Velocidade inicial do próton-projétil:
. - Próton-alvo inicialmente em repouso.
- Após a colisão, as trajetórias dos dois prótons são perpendiculares entre si.
- A trajetória do próton-projétil forma
em relação ao sentido inicial.
Pediram:
(a) a velocidade do próton-alvo após a colisão;
(b) a velocidade do próton-projétil após a colisão.
Passo 2
Estratégia e incógnitas — por que usar estas equações:
- A colisão é elástica e as massas são iguais (
para ambos), então se conservam o momento linear vetorial e a energia cinética. - São incógnitas as velocidades escalares após a colisão:
para o projétil e para o alvo. - Vou decompor o momento nas componentes
(direção inicial) e (perpendicular) e escrever:
Como as massas
cancelam, restam três equações para
,
e as relações angulares. Sabemos
. Como as trajetórias são perpendiculares,
. Deve-se escolher o sinal que permite cancelamento da componente
e conservação do momento em
com resultados físicos (velocidades positivas). A escolha correta aqui será
(isto corresponde ao alvo saindo
abaixo da direção inicial).
Passo 3
Escrever as equações numéricas (m cancela):
Substituindo
e
(pois são perpendiculares) e os valores das funções trigonométricas básicas:
Passo 4
Usar a equação do momento em
para relacionar
e
:
Explicação: essa conta vem de pedir que as componentes
das velocidades se cancelem — uma sobe, a outra desce — e daí surge a relação simples
.
Passo 5
Usar a conservação da energia cinética para determinar
:
Substituindo
:
Com
obtém-se
Passo 6
Calcular
a partir de
:
Fazer uma checagem rápida usando a equação do momento em
:
portanto satisfaz a conservação do momento em
. Tudo confere.
Resposta
(a)
(b)
(b)