Um objeto de massa M está preso à extremidade de um fio de comprimento L e a outra extremidade do fio é mantida fixa no ponto O. Esticando-se o fio, o objeto é mantido horizontalmente e a seguir liberado a partir do repouso. O módulo da aceleração da gravidade local vale g. Determine (a) a velocidade do objeto no ponto inferior de sua trajetória e (b) a tensão no fio nesse ponto. Use em suas respostas apenas as grandezas M, L e g que se fizerem necessárias.
(a) Pela conservação da energia mecânica:

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) determinar a velocidade do objeto no ponto inferior da trajetória;
  • (b) determinar a tensão no fio nesse mesmo ponto.
Informações dadas (retiradas do enunciado e da figura):
  • Massa do corpo: M.
  • Comprimento do fio: L.
  • Aceleração da gravidade: g.
  • O corpo é solto a partir do repouso com o fio esticado na posição horizontal (informação visual: a figura mostra claramente a massa na posição horizontal em relação ao ponto O).
  • O ponto inferior da trajetória (ponto B na figura) está a uma distância vertical L abaixo de O.

Passo 2

Estratégia física e definições importantes (explicação didática):
  • A força peso é conservativa, então podemos usar a conservação da energia mecânica entre a posição inicial (horizontal) e o ponto inferior. Vou escrever as energias cinética e potencial e igualá-las.
  • Definição de energias:
    • Energia cinética de um corpo de massa M e velocidade v: \displaystyle K=\tfrac{1}{2}M v^{2}.
    • Energia potencial gravitacional, escolhendo um nível de referência: \displaystyle U=M g h, onde h é a altura vertical do corpo em relação ao nível escolhido. Aqui g é a aceleração da gravidade e M a massa.
  • Conveniência: escolher o ponto inferior (ponto B) como referência para a energia potencial, ou seja, definir U_B=0. Isso simplifica os cálculos porque então a variação de energia potencial entre a posição inicial e B será simplesmente M g vezes a queda vertical.

Passo 3

Aplicando conservação da energia mecânica entre a posição inicial (horizontal, repouso) e o ponto inferior B:
  • Na posição inicial:
    • Velocidade inicial v_{i}=0, logo K_{i}=0.
    • Altura inicial acima de B: da figura e geometria do problema, a massa está horizontal a uma distância L do ponto O, e B está a L abaixo de O. Portanto a queda vertical desde a posição inicial até B é L (esta informação foi retirada da imagem). Logo U_{i}=M g L (usando U_B=0).
  • No ponto inferior B:
    • Energia potencial U_{f}=0 (escolha de referência).
    • Energia cinética K_{f}=\tfrac{1}{2}M v^{2}, onde v é a velocidade em B.
Pela conservação da energia mecânica (energia inicial = energia final):
M g L + 0 = 0 + \tfrac{1}{2}M v^{2}.
Isolando v^{2}:
\tfrac{1}{2}M v^{2} = M g L \quad\Rightarrow\quad v^{2} = 2 g L.
Tomando raiz positiva (velocidade escalar):
v = \sqrt{2 g L}.

Passo 4

Comentários didáticos sobre o resultado de (a):
  • A velocidade no ponto mais baixo depende apenas de g e L (e não de M). Isso faz sentido porque a massa cancela na conservação de energia para esse problema conservativo.
  • Intuição: a energia potencial perdida M g L virou energia cinética \tfrac{1}{2}M v^{2}.

Passo 5

Agora vamos determinar a tensão no fio no ponto inferior. Conceitos usados e escolha de sinal:
  • No ponto inferior o movimento é circular de raio L. Para movimento circular uniforme instantâneo, a aceleração centrípeta (radial, dirigida para o centro O) tem módulo \displaystyle a_{r}=\dfrac{v^{2}}{L}.
  • No instante em B a velocidade tem módulo v horizontal, e a aceleração radial aponta para cima (para O).
  • Forças atuantes na direção radial (vertical, ao longo do fio) no ponto B:
    • Tensão T no fio, dirigida para cima (para O).
    • Peso M g dirigido para baixo.
  • Aplicando a segunda lei de Newton na direção radial (escolhendo para cima como positiva):
\sum F_{r} = M a_{r}.
Ou seja,
T - M g = M \frac{v^{2}}{L}.

Passo 6

Isolando T e substituindo v^{2} obtido em (a):
T = M g + M \frac{v^{2}}{L}.
Substituindo v^{2}=2 g L:
T = M g + M \frac{2 g L}{L} = M g + 2 M g = 3 M g.

Passo 7

Interpretação e verificação rápida:
  • A tensão T=3Mg é maior que o peso Mg, o que é esperado porque além de sustentar o peso o fio precisa fornecer a força centrípeta necessária para curvar a velocidade do corpo no fundo da trajetória.
  • Dimensionalmente está consistente (força).

Resposta

(a) v=\sqrt{2 g L}
(b) T=3 M g

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