Um objeto de massa
está preso à extremidade de um fio de comprimento
e a outra extremidade do fio é mantida fixa no ponto O. Esticando-se o fio, o objeto é mantido horizontalmente e a seguir liberado a partir do repouso. O módulo da aceleração da gravidade local vale
. Determine (a) a velocidade do objeto no ponto inferior de sua trajetória e (b) a tensão no fio nesse ponto. Use em suas respostas apenas as grandezas
e
que se fizerem necessárias.
(a) Pela conservação da energia mecânica:
(a) Pela conservação da energia mecânica:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) determinar a velocidade do objeto no ponto inferior da trajetória;
- (b) determinar a tensão no fio nesse mesmo ponto.
Informações dadas (retiradas do enunciado e da figura):
- Massa do corpo:
. - Comprimento do fio:
. - Aceleração da gravidade:
. - O corpo é solto a partir do repouso com o fio esticado na posição horizontal (informação visual: a figura mostra claramente a massa na posição horizontal em relação ao ponto
). - O ponto inferior da trajetória (ponto
na figura) está a uma distância vertical abaixo de .
Passo 2
Estratégia física e definições importantes (explicação didática):
- A força peso é conservativa, então podemos usar a conservação da energia mecânica entre a posição inicial (horizontal) e o ponto inferior. Vou escrever as energias cinética e potencial e igualá-las.
- Definição de energias:
- Energia cinética de um corpo de massa
e velocidade : . - Energia potencial gravitacional, escolhendo um nível de referência:
, onde é a altura vertical do corpo em relação ao nível escolhido. Aqui é a aceleração da gravidade e a massa.
- Energia cinética de um corpo de massa
- Conveniência: escolher o ponto inferior (ponto
) como referência para a energia potencial, ou seja, definir . Isso simplifica os cálculos porque então a variação de energia potencial entre a posição inicial e será simplesmente vezes a queda vertical.
Passo 3
Aplicando conservação da energia mecânica entre a posição inicial (horizontal, repouso) e o ponto inferior
:
- Na posição inicial:
- Velocidade inicial
, logo . - Altura inicial acima de
: da figura e geometria do problema, a massa está horizontal a uma distância do ponto , e está a abaixo de . Portanto a queda vertical desde a posição inicial até é (esta informação foi retirada da imagem). Logo (usando ).
- Velocidade inicial
- No ponto inferior
: - Energia potencial
(escolha de referência). - Energia cinética
, onde é a velocidade em .
- Energia potencial
Pela conservação da energia mecânica (energia inicial = energia final):
Isolando
:
Tomando raiz positiva (velocidade escalar):
Passo 4
Comentários didáticos sobre o resultado de (a):
- A velocidade no ponto mais baixo depende apenas de
e (e não de ). Isso faz sentido porque a massa cancela na conservação de energia para esse problema conservativo. - Intuição: a energia potencial perdida
virou energia cinética .
Passo 5
Agora vamos determinar a tensão no fio no ponto inferior. Conceitos usados e escolha de sinal:
- No ponto inferior o movimento é circular de raio
. Para movimento circular uniforme instantâneo, a aceleração centrípeta (radial, dirigida para o centro ) tem módulo . - No instante em
a velocidade tem módulo horizontal, e a aceleração radial aponta para cima (para ). - Forças atuantes na direção radial (vertical, ao longo do fio) no ponto
: - Tensão
no fio, dirigida para cima (para ). - Peso
dirigido para baixo.
- Tensão
- Aplicando a segunda lei de Newton na direção radial (escolhendo para cima como positiva):
Ou seja,
Passo 6
Isolando
e substituindo
obtido em (a):
Substituindo
:
Passo 7
Interpretação e verificação rápida:
- A tensão
é maior que o peso , o que é esperado porque além de sustentar o peso o fio precisa fornecer a força centrípeta necessária para curvar a velocidade do corpo no fundo da trajetória. - Dimensionalmente está consistente (força).
Resposta
(a)
(b)
(b)