O protótipo de um novo carro elétrico está passando por testes de emissão sonora em uma pista fechada. O veículo possui um gerador de áudio acoplado que emite um sinal de alerta senoidal com frequência constante \mathrm{f}_{\mathrm{s}}=400 \mathrm{~Hz}. Em um dia de testes em que o ar está parado e a velocidade do som é v =344 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine:
O comprimento de onda das ondas situadas na frente ( \lambda_{\text {frente }} ) e atrás ( \lambda_{\text {atrás }}á ) do veículo quando ele se move em linha reta com uma velocidade constante de 24 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (dados retirados do enunciado):
  • Frequência do sinal emitido: f_{\mathrm{s}}=400\\ \mathrm{Hz}.
  • Velocidade do som no ar (meio estacionário): v=344\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade do veículo (fonte sonora): v_{\mathrm{s}}=24\\ \mathrm{m/s}.
    O enunciado pede:
  • O comprimento de onda das ondas situadas na frente do veículo: \lambda_{\text{frente}}.
  • O comprimento de onda das ondas situadas atrás do veículo: \lambda_{\text{atrás}}á.

Passo 2

Conceito chave e definição das variáveis que vamos usar:
  • A fonte emite ondas senoidais com período T, onde
T=\frac{1}{f_{\mathrm{s}}}.
Aqui T é o intervalo de tempo entre duas emissões sucessivas (entre dois máximos, por exemplo).
  • As ondas se propagam no ar com velocidade v (medida no referencial do ar, que está em repouso).
  • Como a fonte se move com v_{\mathrm{s}}, ela desloca-se entre uma emissão e a seguinte, alterando o espaçamento entre frentes de onda no ar. Esse espaçamento é justamente o comprimento de onda no laboratório (no ar) na direção considerada.

Passo 3

Derivação do comprimento de onda na frente ( \lambda_{\text{frente}}):
  • Em um período T a primeira frente emitida avança uma distância vT.
  • No mesmo intervalo T a fonte avança uma distância v_{\mathrm{s}}T na direção do movimento (para a frente).
  • A distância entre a frente emitida primeiro e a seguinte, na direção da frente (à frente da fonte), é portanto a diferença entre essas distâncias:
\lambda_{\text{frente}} = vT - v_{\mathrm{s}}T = (v - v_{\mathrm{s}})T.
  • Substituindo T=\dfrac{1}{f_{\mathrm{s}}} obtemos a fórmula prática:
\lambda_{\text{frente}} = \frac{v - v_{\mathrm{s}}}{f_{\mathrm{s}}}.
Explicando em palavras: como a fonte se aproxima, ela “encurta” o espaço entre frentes emitidas.

Passo 4

Cálculo numérico de \lambda_{\text{frente}}:
  • Primeiro calcule T:
T=\frac{1}{f_{\mathrm{s}}}=\frac{1}{400} = 0,0025\\ \mathrm{s}.
  • Ou usar diretamente a fórmula com velocidades:
\lambda_{\text{frente}}=\frac{v - v_{\mathrm{s}}}{f_{\mathrm{s}}}=\frac{344 - 24}{400}=\frac{320}{400}=0,8\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Derivação do comprimento de onda atrás ( \lambda_{\text{atrás}}á):
  • Para a direção atrás da fonte, entre uma emissão e a seguinte a primeira frente se afasta da fonte uma distância vT, enquanto a fonte também se afasta (na direção oposta) por v_{\mathrm{s}}T. Assim a separação entre frentes aumenta:
\lambda_{\text{atrás}} = vT + v_{\mathrm{s}}T = (v + v_{\mathrm{s}})T.á
  • Substituindo T=\dfrac{1}{f_{\mathrm{s}}} resulta em
\lambda_{\text{atrás}} = \frac{v + v_{\mathrm{s}}}{f_{\mathrm{s}}}.á
Em palavras: atrás da fonte as frentes ficam mais espaçadas porque a fonte se afasta de cada frente emitida depois.

Passo 6

Cálculo numérico de \lambda_{\text{atrás}}á:
\lambda_{\text{atrás}}=\frac{v + v_{\mathrm{s}}}{f_{\mathrm{s}}}=\frac{344 + 24}{400}=\frac{368}{400}=0,92\\ \mathrm{m}.á

Passo 7

Observação interpretativa e ânimo:
  • Resumindo: na frente do carro as ondas ficam mais curtas ( 0,8\\ \mathrm{m}) e atrás ficam mais longas ( 0,92\\ \mathrm{m}). Isso é exatamente o efeito Doppler para fonte em movimento no meio estacionário.
  • Calma — você já sabe o raciocínio: calcular T, ver quanto a fonte se desloca em T e somar/subtrair conforme a direção. Dá para fazer rápido na prova.

Resposta

\lambda_{\text{frente}}=0,8\\ \mathrm{m}
\lambda_{\text{atrás}}=0,92\\ \mathrm{m}á

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