Uma pesquisa realizada por uma equipe de fonoaudiologia em uma grande avenida urbana determinou que a exposição contínua a um nível de intensidade sonora de 85 dB durante uma jornada de trabalho diária de 8 horas representa o limite máximo de segurança para evitar perdas auditivas induzidas pelo ruído a longo prazo. Em contrapartida, em eventos com música amplificada (como shows e festivais), os espectadores ficam expostos a níveis de intensidade sonora que frequentemente atingem 105 dB . Sabendo que o nível de intensidade sonora é dado pela função logarítmica \beta=(10 \mathrm{~dB}) \log _{10}\left(\mathrm{I} / \mathrm{I}_{0}\right) e adotando a intensidade de referência padrão como \mathrm{I}_{0}=1,0 \mathrm{x} 10^{-12} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, calcule a quais intensidades físicas (em W/m2) correspondem os valores de:
\mathbf{1 0 5 ~ d B} (exposição em grandes eventos musicais).

Passo 1

O enunciado dá a fórmula do nível de intensidade sonora e pede que se calcule a intensidade física correspondente a \,105\\ \mathrm{dB}. Informações fornecidas:
  • Fórmula: \beta=(10\\ \mathrm{dB})\log_{10}\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right).
  • Intensidade de referência: \,I_0=1,0\times10^{-12}\\ \mathrm{W/m^2}.
    O que se pede: encontrar o valor de \,I (em \mathrm{W/m^2}) quando \,\beta=105\\ \mathrm{dB}.

Passo 2

Vamos entender a fórmula e as variáveis, com calma:
  • \beta é o nível sonoro em decibéis ( \mathrm{dB}).
  • I é a intensidade sonora física que queremos (em \mathrm{W/m^2}).
  • I_0 é a intensidade de referência ( 1,0\times10^{-12}\\ \mathrm{W/m^2} aqui).
    A função usa logaritmo decimal: \log_{10}. Para isolar I precisamos inverter o logaritmo. Isso faz-se em duas etapas algébricas: dividir por 10\\ \mathrm{dB} e depois aplicar a potência de base 10. Matematicamente:
\beta=(10\\ \mathrm{dB})\log_{10}\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right)
Dividindo ambos os lados por 10\\ \mathrm{dB} obtemos
\frac{\beta}{10}=\log_{10}\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right)
Agora aplicamos a função inversa do \log_{10}, que é elevar 10 a ambos os lados, resultando em
\dfrac{I}{I_0}=10^{\beta/10}
e finalmente isolamos I:
I = I_0 \, 10^{\beta/10}

Passo 3

Agora substituímos os valores numéricos com \beta=105\\ \mathrm{dB} e I_0=1,0\times10^{-12}\\ \mathrm{W/m^2}:
I = \left(1,0\times10^{-12}\right)\;10^{105/10}
Calculemos o expoente:
\frac{105}{10}=10{,}5
Portanto
I = 1,0\times10^{-12}\;10^{10{,}5}

Passo 4

Avaliar 10^{10{,}5}. Podemos decompor assim:
10^{10{,}5}=10^{10}\,10^{0{,}5}=10^{10}\,\sqrt{10}
Sabendo que \sqrt{10}\approx3,16227766, temos
10^{10{,}5}\approx10^{10}\times3{,}16227766=3{,}16227766\times10^{10}
Agora multiplicamos por I_0:
I \approx \left(1{,}0\times10^{-12}\right)\left(3{,}16227766\times10^{10}\right)=3{,}16227766\times10^{-2}
Arredondando de forma prática (três algarismos significativos):
I \approx 3{,}16\times10^{-2}\\ \mathrm{W/m^2}
Em forma decimal isso é \,0{,}0316\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 5

Comentário didático e comparação rápida (útil para prova): como a escala em decibéis é logarítmica, um aumento de 20\\ \mathrm{dB} corresponde a um fator 10^{20/10}=10^2=100 na intensidade física. Assim, \,105\\ \mathrm{dB} é 100 vezes mais intenso que \,85\\ \mathrm{dB} em termos de I. Isso é bom para interpretar resultados na prova: pequenas diferenças em dB podem representar grandes diferenças na intensidade física.

Resposta

\,I \approx 3{,}16\times10^{-2}\\ \mathrm{W/m^2}

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