(prova 22.2 - questão 1): Um eixo de seção circular de diâmetro d=120 \mathrm{~mm} deve transmitir um torque T=1000 \mathrm{kgf} . \mathrm{m}. O eixo é fabricado em aço com peso específico \rho=7850 \mathrm{kgf} / \mathrm{m}^{3}. O eixo tem um comprimento L=4 \mathrm{~m} e está apoiado em dois mancais nas extremidades. Determinar a tensão de escoamento necessária para o material resistir aos esforços combinados gerados na seção transversal crítica, considerando um coeficiente de segurança n=5 e empregando a teoria de falha de von Mises. Desprezar o esforço cortante.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e os dados que temos.
Pergunta do enunciado:
  • Determinar a tensão de escoamento necessária do material para que o eixo resista aos esforços combinados na seção crítica, usando coeficiente de segurança n=5 e a teoria de von Mises. Desprezar o esforço cortante (entendido aqui como o cisalhamento por força transversal; o cisalhamento devido à torção será considerado).
Dados fornecidos:
  • Diâmetro do eixo: d=120\\ \mathrm{mm}=0,12\\ \mathrm{m}.
  • Torque aplicado: T=1000\\ \mathrm{kgf\cdot m}.
  • Peso específico do aço: \rho=7850\\ \mathrm{kgf/m^{3}} (nota: aqui \rho já é peso por volume, ou seja, força-peso por volume em unidades kgf/m^3).
  • Comprimento do eixo: L=4\\ \mathrm{m}.
  • Apoiado em dois mancais nas extremidades (apoio simples em ambos os lados), portanto o peso próprio gera uma carga distribuída uniforme.
  • Coeficiente de segurança: n=5.
  • Desprezar o esforço cortante (força cortante interna do tipo cisalhamento por carga transversal); manter o cisalhamento gerado pela torção.
O que vou calcular a seguir:
  1. Peso por unidade de comprimento do eixo w.
  2. Momento fletor máximo M_{\max} (seção crítica).
  3. Tensão normal de flexão \sigma na fibra externa da seção crítica.
  4. Tensão de cisalhamento máxima devido à torção \tau.
  5. Tensão equivalente de von Mises \sigma_{\rm VM}.
  6. Tensão de escoamento necessária \sigma_{y,\rm req}=n\cdot\sigma_{\rm VM}.

Passo 2

Cálculo da área da seção transversal e do peso por unidade de comprimento.
Área da seção circular:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Substituindo d=0,12\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi (0,12)^{2}}{4}.
Cálculo numérico:
A=\frac{\pi \cdot 0,0144}{4}=\pi\cdot 0,0036\approx 0,0113097\\ \mathrm{m^{2}}.
Peso por unidade de comprimento (força peso por metro), usando \rho em \mathrm{kgf/m^{3}}:
w=\rho\,A.
Substituindo:
w=7850\cdot 0,0113097\approx 88,78\\ \mathrm{kgf/m}.
(Comentário: aqui mantive unidades em kgf e metros. Quando for necessário passar para Pa, farei a conversão para N e Pa.)

Passo 3

Determinar o momento fletor máximo devido ao peso próprio. Para uma viga simplesmente apoiada com carga distribuída uniforme w ao longo de L, o momento máximo no meio do vão é:
M_{\max}=\frac{wL^{2}}{8}.
Substituindo w=88,78\\ \mathrm{kgf/m} e L=4\\ \mathrm{m}:
M_{\max}=\frac{88,78\cdot 4^{2}}{8}=\frac{88,78\cdot 16}{8}=88,78\cdot 2=177,56\\ \mathrm{kgf\cdot m}.
Para trabalhar em unidades de SI (Pa) converto momentos em N·m usando 1\\ \mathrm{kgf}=9{,}80665\\ \mathrm{N}:
M_{\max}=177,56\cdot 9{,}80665\approx 1741{,}73\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 4

Cálculo da tensão de flexão máxima na fibra externa da seção circular.
Fórmula clássica da flexão para seção circular:
\sigma=\frac{M\,c}{I},
onde c é a distância da fibra neutra à fibra externa e I é o momento de inércia da seção.
Para um círculo de diâmetro d:
c=\frac{d}{2},\qquad I=\frac{\pi d^{4}}{64}.
Substituindo em \sigma=\dfrac{M c}{I} e simplificando obtém-se a forma direta:
\sigma=\frac{32\,M}{\pi d^{3}}.
Agora calculo numericamente com M=1741{,}73\\ \mathrm{N\cdot m} e d=0,12\\ \mathrm{m}:
\sigma=\frac{32\cdot 1741{,}73}{\pi \cdot (0,12)^{3}}.
Cálculo intermediário: (0,12)^{3}=0,001728.
\sigma=\frac{55734{,}**}{\pi\cdot 0,001728}\\ (\text{faço a conta completa abaixo}).ç
Conta completa:
\sigma\approx \frac{32\cdot 1741{,}73}{\pi\cdot 0,001728}\approx \frac{55734{,}****}{0,005427}\approx 10{,}273\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Portanto:
\sigma\approx 10{,}273\\ \mathrm{MPa}.
(Arredondei para três casas significativas: \sigma\approx 10{,}27\\ \mathrm{MPa}.)

Passo 5

Cálculo da tensão de cisalhamento máxima devido à torção.
Para um eixo circular sólido, a tensão de cisalhamento máxima por torção é dada por:
\tau=\frac{T\,c}{J},
onde J é o momento polar da área. Para seção circular sólida:
J=\frac{\pi d^{4}}{32},\qquad c=\frac{d}{2}.
Substituindo e simplificando:
\tau=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Converter o torque T para N·m: T=1000\\ \mathrm{kgf\cdot m}=1000\cdot 9{,}80665\\ \mathrm{N\cdot m}=9806{,}65\\ \mathrm{N\cdot m}.
Agora calcular:
\tau=\frac{16\cdot 9806{,}65}{\pi\cdot (0,12)^{3}}.
Usando (0,12)^{3}=0,001728:
\tau\approx \frac{156906{,}4}{0,005427}\approx 28{,}936\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Portanto:
\tau\approx 28{,}936\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Explicação da teoria de von Mises e aplicação ao caso combinado.
A teoria de von Mises para falha (critério de energia de distorção) fornece a tensão equivalente \sigma_{\rm VM} que combina tensões normais e cisalhantes. Para o caso simples de uma tensão normal \sigma (da flexão) e uma tensão de cisalhamento \tau (da torção), sem outras componentes, a forma conveniente é:
\sigma_{\rm VM}=\sqrt{\sigma^{2}+3\tau^{2}}.
Significado das variáveis:
  • \sigma é a tensão normal (MPa) na fibra externa devido à flexão.
  • \tau é a tensão de cisalhamento (MPa) devido à torção.
  • \sigma_{\rm VM} é a tensão equivalente (MPa) que deve ser comparada com a tensão de escoamento do material.

Passo 7

Cálculo numérico da tensão equivalente de von Mises.
Já temos \sigma\approx 10{,}273\\ \mathrm{MPa} e \tau\approx 28{,}936\\ \mathrm{MPa}. Então:
\sigma_{\rm VM}=\sqrt{(10{,}273)^{2}+3\,(28{,}936)^{2}}.
Calcular os termos:
(10{,}273)^{2}\approx 105{,}53,\qquad (28{,}936)^{2}\approx 837{,}50,
3\,(28{,}936)^{2}\approx 2512{,}50.
Somando:
\sigma_{\rm VM}\approx \sqrt{105{,}53+2512{,}50}=\sqrt{2618{,}03}\approx 51{,}171\\ \mathrm{MPa}.
Logo:
\sigma_{\rm VM}\approx 51{,}17\\ \mathrm{MPa}.

Passo 8

Aplicar o coeficiente de segurança n.
Interpretação do coeficiente de segurança: queremos que a tensão equivalente solicitante não exceda a tensão de escoamento dividida por n, ou seja:
\sigma_{\rm VM}\le \frac{\sigma_{y}}{n}.
Rearranjando para obter a tensão de escoamento mínima requerida:
\sigma_{y,\rm req}=n\cdot \sigma_{\rm VM}.
Substituindo n=5 e \sigma_{\rm VM}\approx 51{,}171\\ \mathrm{MPa}:
\sigma_{y,\rm req}=5\cdot 51{,}171\approx 255{,}856\\ \mathrm{MPa}.
Arredondando convenientemente:
\sigma_{y,\rm req}\approx 255{,}9\\ \mathrm{MPa}\approx 256\\ \mathrm{MPa}.

Passo 9

Interpretação final e observações (curta e encorajadora).
  • A tensão de escoamento mínima necessária para o material, considerando segurança n=5 e a combinação flexão+torção pelo critério de von Mises, é cerca de 256\\ \mathrm{MPa}.
  • Observação sobre a hipótese: desprezei o esforço cortante devido à força transversal (cisalhamento por corte transversal); considerei apenas o momento fletor gerado pelo peso próprio e a torção aplicada. Se o enunciado quisesse incluir o cisalhamento transversal, haveria pequena influência na verificação pela teoria de von Mises porque o cisalhamento por torção já domina aqui.
  • Força um abraço — você já tem o passo a passo para aplicar esse procedimento em outras questões parecidas!

Resposta

\sigma_{y,\mathrm{req}}\approx 255{,}9\\ \mathrm{MPa}

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