(prova 22.2 - questão 1): Um eixo de seção circular de diâmetro
deve transmitir um torque
. O eixo é fabricado em aço com peso específico
. O eixo tem um comprimento
e está apoiado em dois mancais nas extremidades. Determinar a tensão de escoamento necessária para o material resistir aos esforços combinados gerados na seção transversal crítica, considerando um coeficiente de segurança
e empregando a teoria de falha de von Mises. Desprezar o esforço cortante.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e os dados que temos.
Pergunta do enunciado:
- Determinar a tensão de escoamento necessária do material para que o eixo resista aos esforços combinados na seção crítica, usando coeficiente de segurança
e a teoria de von Mises. Desprezar o esforço cortante (entendido aqui como o cisalhamento por força transversal; o cisalhamento devido à torção será considerado).
Dados fornecidos:
- Diâmetro do eixo:
. - Torque aplicado:
. - Peso específico do aço:
(nota: aqui já é peso por volume, ou seja, força-peso por volume em unidades kgf/m^3). - Comprimento do eixo:
. - Apoiado em dois mancais nas extremidades (apoio simples em ambos os lados), portanto o peso próprio gera uma carga distribuída uniforme.
- Coeficiente de segurança:
. - Desprezar o esforço cortante (força cortante interna do tipo cisalhamento por carga transversal); manter o cisalhamento gerado pela torção.
O que vou calcular a seguir:
- Peso por unidade de comprimento do eixo
. - Momento fletor máximo
(seção crítica). - Tensão normal de flexão
na fibra externa da seção crítica. - Tensão de cisalhamento máxima devido à torção
. - Tensão equivalente de von Mises
. - Tensão de escoamento necessária
.
Passo 2
Cálculo da área da seção transversal e do peso por unidade de comprimento.
Área da seção circular:
Substituindo
:
Cálculo numérico:
Peso por unidade de comprimento (força peso por metro), usando
em
:
Substituindo:
(Comentário: aqui mantive unidades em kgf e metros. Quando for necessário passar para Pa, farei a conversão para N e Pa.)
Passo 3
Determinar o momento fletor máximo devido ao peso próprio. Para uma viga simplesmente apoiada com carga distribuída uniforme
ao longo de
, o momento máximo no meio do vão é:
Substituindo
e
:
Para trabalhar em unidades de SI (Pa) converto momentos em N·m usando
:
Passo 4
Cálculo da tensão de flexão máxima na fibra externa da seção circular.
Fórmula clássica da flexão para seção circular:
onde
é a distância da fibra neutra à fibra externa e
é o momento de inércia da seção.
Para um círculo de diâmetro
:
Substituindo em
e simplificando obtém-se a forma direta:
Agora calculo numericamente com
e
:
Cálculo intermediário:
.
Conta completa:
Portanto:
(Arredondei para três casas significativas:
.)
Passo 5
Cálculo da tensão de cisalhamento máxima devido à torção.
Para um eixo circular sólido, a tensão de cisalhamento máxima por torção é dada por:
onde
é o momento polar da área. Para seção circular sólida:
Substituindo e simplificando:
Converter o torque
para N·m:
.
Agora calcular:
Usando
:
Portanto:
Passo 6
Explicação da teoria de von Mises e aplicação ao caso combinado.
A teoria de von Mises para falha (critério de energia de distorção) fornece a tensão equivalente
que combina tensões normais e cisalhantes. Para o caso simples de uma tensão normal
(da flexão) e uma tensão de cisalhamento
(da torção), sem outras componentes, a forma conveniente é:
Significado das variáveis:
-
é a tensão normal (MPa) na fibra externa devido à flexão. -
é a tensão de cisalhamento (MPa) devido à torção. -
é a tensão equivalente (MPa) que deve ser comparada com a tensão de escoamento do material.
Passo 7
Cálculo numérico da tensão equivalente de von Mises.
Já temos
e
. Então:
Calcular os termos:
Somando:
Logo:
Passo 8
Aplicar o coeficiente de segurança
.
Interpretação do coeficiente de segurança: queremos que a tensão equivalente solicitante não exceda a tensão de escoamento dividida por
, ou seja:
Rearranjando para obter a tensão de escoamento mínima requerida:
Substituindo
e
:
Arredondando convenientemente:
Passo 9
Interpretação final e observações (curta e encorajadora).
- A tensão de escoamento mínima necessária para o material, considerando segurança
e a combinação flexão+torção pelo critério de von Mises, é cerca de . - Observação sobre a hipótese: desprezei o esforço cortante devido à força transversal (cisalhamento por corte transversal); considerei apenas o momento fletor gerado pelo peso próprio e a torção aplicada. Se o enunciado quisesse incluir o cisalhamento transversal, haveria pequena influência na verificação pela teoria de von Mises porque o cisalhamento por torção já domina aqui.
- Força um abraço — você já tem o passo a passo para aplicar esse procedimento em outras questões parecidas!