QUESTÃO 3 (4 pontos): O elevador e seu contrapeso pesam 4000 N cada. Determine a força que o motor tem que produzir no cabo de aço parą que o elevador tenha uma aceleração de
para cima. Despreze a massa das polias. Considere
.
Desenhe o diagrama de corpo livre para o elevador e para o contrapeso. Vale 0,5 ponto cada.
Desenhe o diagrama de corpo livre para o elevador e para o contrapeso. Vale 0,5 ponto cada.
Passo 1
O enunciado dá estas informações (vou listar direitinho o que sabemos e o que é pedido):
- Peso do elevador:
. - Peso do contrapeso:
. - Aceleração desejada do elevador:
para cima. - Desprezar a massa das polias.
- Considere
.
O que o enunciado pede:
- Determinar a força que o motor tem que produzir no cabo de aço para que o elevador tenha aceleração de
para cima. - Desenhar (ou indicar) o diagrama de corpo livre para o elevador e para o contrapeso.
Passo 2
Primeiro convertemos os pesos em massas, porque na segunda lei de Newton usamos massa:
- Peso
e massa estão ligados por . - Para o elevador (e para o contrapeso, que têm o mesmo peso):
Explicação rápida: o “peso” em newtons já é a força gravitacional, e dividindo por
achamos a massa em kg — isso é importante porque a segunda lei é
.
Passo 3
Diagrama de corpo livre do elevador (descrito):
- Força para cima: tensão no cabo do lado do elevador, chamo de
. - Força para baixo: peso do elevador
. - Aceleração:
para cima.
Escrevendo a segunda lei (direção positiva para cima):
Substituindo
e
:
Logo
Comentário didático: aqui usamos diretamente a lei
. A ideia é somar as forças (com sinais) sobre o elevador; como ele acelera para cima, a tensão tem que ser maior que o peso e a diferença é
.
Passo 4
Diagrama de corpo livre do contrapeso (descrito):
- Força para cima: tensão no cabo do lado do contrapeso, chamo de
. - Força para baixo: peso do contrapeso
. - Observação do movimento: se o elevador sobe com
, o contrapeso sobe/ desce? No sistema com cabo passando pela polia, quando o elevador sobe o contrapeso desce com a mesma velocidade/ aceleração em módulo. Logo o contrapeso tem aceleração se adotarmos para ele a convenção positiva para cima. Aqui é mais simples tomar direção positiva para cima também e colocar o sinal apropriado para .
Tomando positiva para cima e sabendo que o contrapeso acelera para baixo com módulo
, temos
. Aplicando a segunda lei ao contrapeso:
Então
Comentário didático: notar que
e
podem ser diferentes porque o motor aplica torque na polia, gerando diferença entre as tensões dos dois lados; desprezando massa das polias não obriga
se o motor está aplicando torque.
Passo 5
Interpretação física e relação com o motor:
- Encontramos que a tensão no lado do elevador é
e a tensão no lado do contrapeso é . - A diferença de tensões é
Essa diferença é justamente o que exige o motor (via torque na polia) para desbalancear os dois lados e provocar a aceleração desejada. Em termos práticos, o motor precisa exercer um torque tal que a tangente na borda da polia veja essa diferença de tensões; sem pedir raio da polia, não podemos transformar isso em um valor de torque numérico aqui, mas a força que atua no cabo do lado do elevador (a tensão que efetivamente puxa o elevador para cima) é
.
Passo 6
Resumo final e dica para a prova (pequena motivação):
- Método que usei: aplicar
separadamente a cada corpo (elevador e contrapeso). Sempre identifique bem as direções positivas e os sentidos das acelerações. Se as massas têm valores iguais e há aceleração, espere que as tensões nos dois lados sejam diferentes — o motor fornece essa diferença por meio de torque. - Dica prática: desenhe sempre dois diagramas (um para cada corpo) e escreva as equações; isso evita confusão com sinais.