QUESTÃO 3 (4 pontos): O elevador e seu contrapeso pesam 4000 N cada. Determine a força que o motor tem que produzir no cabo de aço parą que o elevador tenha uma aceleração de 1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} para cima. Despreze a massa das polias. Considere \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
Desenhe o diagrama de corpo livre para o elevador e para o contrapeso. Vale 0,5 ponto cada.

Passo 1

O enunciado dá estas informações (vou listar direitinho o que sabemos e o que é pedido):
  • Peso do elevador: 4000\\ \mathrm{N}.
  • Peso do contrapeso: 4000\\ \mathrm{N}.
  • Aceleração desejada do elevador: 1{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}} para cima.
  • Desprezar a massa das polias.
  • Considere g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a força que o motor tem que produzir no cabo de aço para que o elevador tenha aceleração de 1{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}} para cima.
  • Desenhar (ou indicar) o diagrama de corpo livre para o elevador e para o contrapeso.

Passo 2

Primeiro convertemos os pesos em massas, porque na segunda lei de Newton usamos massa:
  • Peso W e massa m estão ligados por W = m\,g.
  • Para o elevador (e para o contrapeso, que têm o mesmo peso):
m=\frac{W}{g}=\frac{4000}{10}=400\\ \mathrm{kg}.
Explicação rápida: o “peso” em newtons já é a força gravitacional, e dividindo por g achamos a massa em kg — isso é importante porque a segunda lei é \sum F = m a.

Passo 3

Diagrama de corpo livre do elevador (descrito):
  • Força para cima: tensão no cabo do lado do elevador, chamo de \,T_e.
  • Força para baixo: peso do elevador \,W_e=4000\\ \mathrm{N}.
  • Aceleração: a=+1{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}} para cima.
Escrevendo a segunda lei (direção positiva para cima):
T_e - 4000 = m\,a.
Substituindo m=400\\ \mathrm{kg} e a=1{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}:
T_e - 4000 = 400\cdot 1{,}0 = 400.
Logo
T_e = 4000 + 400 = 4400\\ \mathrm{N}.
Comentário didático: aqui usamos diretamente a lei \sum F = m a. A ideia é somar as forças (com sinais) sobre o elevador; como ele acelera para cima, a tensão tem que ser maior que o peso e a diferença é m a.

Passo 4

Diagrama de corpo livre do contrapeso (descrito):
  • Força para cima: tensão no cabo do lado do contrapeso, chamo de \,T_c.
  • Força para baixo: peso do contrapeso \,W_c=4000\\ \mathrm{N}.
  • Observação do movimento: se o elevador sobe com 1{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}, o contrapeso sobe/ desce? No sistema com cabo passando pela polia, quando o elevador sobe o contrapeso desce com a mesma velocidade/ aceleração em módulo. Logo o contrapeso tem aceleração a_c=-1{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}} se adotarmos para ele a convenção positiva para cima. Aqui é mais simples tomar direção positiva para cima também e colocar o sinal apropriado para a.
Tomando positiva para cima e sabendo que o contrapeso acelera para baixo com módulo 1{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}, temos a_c=-1{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}. Aplicando a segunda lei ao contrapeso:
T_c - 4000 = m\,a_c = 400\cdot(-1{,}0) = -400.
Então
T_c = 4000 - 400 = 3600\\ \mathrm{N}.
Comentário didático: notar que \,T_e e \,T_c podem ser diferentes porque o motor aplica torque na polia, gerando diferença entre as tensões dos dois lados; desprezando massa das polias não obriga T_e=T_c se o motor está aplicando torque.

Passo 5

Interpretação física e relação com o motor:
  • Encontramos que a tensão no lado do elevador é \,T_e=4400\\ \mathrm{N} e a tensão no lado do contrapeso é \,T_c=3600\\ \mathrm{N}.
  • A diferença de tensões é
T_e - T_c = 4400 - 3600 = 800\\ \mathrm{N}.
Essa diferença é justamente o que exige o motor (via torque na polia) para desbalancear os dois lados e provocar a aceleração desejada. Em termos práticos, o motor precisa exercer um torque tal que a tangente na borda da polia veja essa diferença de tensões; sem pedir raio da polia, não podemos transformar isso em um valor de torque numérico aqui, mas a força que atua no cabo do lado do elevador (a tensão que efetivamente puxa o elevador para cima) é \,4400\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Resumo final e dica para a prova (pequena motivação):
  • Método que usei: aplicar \sum F = m a separadamente a cada corpo (elevador e contrapeso). Sempre identifique bem as direções positivas e os sentidos das acelerações. Se as massas têm valores iguais e há aceleração, espere que as tensões nos dois lados sejam diferentes — o motor fornece essa diferença por meio de torque.
  • Dica prática: desenhe sempre dois diagramas (um para cada corpo) e escreva as equações; isso evita confusão com sinais.

Resposta

T_{\text{lado do elevador}} = 4400\\ \mathrm{N}
T_{\text{lado do contrapeso}} = 3600\\ \mathrm{N}

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