Problema 1. Considere a Lagrangiana de um sistema físico escrito na forma:
L=a \dot{x}^{2}+b \frac{\dot{y}}{x}+c \dot{x} \dot{y}+f y^{2} \dot{x} \dot{z}+g \dot{y}^{2}-k \sqrt{x^{2}+y^{2}},
onde a, b, c, f, g e k são constantes. (a) Encontre a Hamiltoniana do sistema; (b) Há alguma constante de movimento? Se sua resposta for sim, encontre-a(s)

Passo 1

O enunciado fornece a Lagrangiana
L = a \dot{x}^{2}+b \frac{\dot{y}}{x}+c \dot{x} \dot{y}+f y^{2} \dot{x} \dot{z}+g \dot{y}^{2}-k \sqrt{x^{2}+y^{2}},
com constantes a,b,c,f,g,k. Pede-se:
(a) encontrar a Hamiltoniana do sistema;
(b) verificar se existe(s) constante(s) de movimento e, em caso positivo, encontrá‑la(s).
Informações relevantes dadas:
  • As coordenadas generalizadas são (x,y,z) e as velocidades (\dot x,\dot y,\dot z).
  • A Lagrangiana contém termos quadráticos em velocidades, um termo linear em \dot y (o termo b\dot y/x) e um acoplamento entre \dot x e \dot z pelo termo f y^{2}\dot x\dot z.
  • Não aparece a coordenada z explicitamente na Lagrangiana.
  • Não há dependência explícita de tempo na Lagrangiana.

Passo 2

Definição de momento canônico e cálculo explícito dos momentos — aula rápida: o momento canônico conjugado a uma coordenada q_i é definido por
p_i \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}.
Isso transforma dependência em velocidades em quantidades que vão aparecer no Hamiltoniano.
Vamos calcular os momentos p_x,p_y,p_z.
Derivando L em relação a \dot x:
p_x=\frac{\partial L}{\partial \dot x}=2a\dot x + c\dot y + f y^{2}\dot z.
Derivando L em relação a \dot y:
p_y=\frac{\partial L}{\partial \dot y}=\frac{b}{x}+c\dot x+2g\dot y.
(obs.: o termo b\dot y/x dá contribuição \partial(\,b\dot y/x\,)/\partial\dot y=b/x.)
Derivando L em relação a \dot z:
p_z=\frac{\partial L}{\partial \dot z}=f y^{2}\dot x.
Comentário didático: o momento p_z depende de \dot x (não de \dot z). Isso indica acoplamento entre x e z e requer atenção ao inverter a relação velocidade→momento.

Passo 3

Resolver as equações dos momentos para obter as velocidades em função dos momentos (legendre invertível) — passo prático e explicação.
A estratégia: usar p_z para obter \dot x primeiro, depois \dot y de p_y e por fim \dot z de p_x.
De p_z=f y^{2}\dot x segue, desde que f\neq0 e y\neq0,
\dot x = \frac{p_z}{f y^{2}}.
Isso dá \dot x em função dos momentos e das coordenadas.
Substituindo \dot x em p_y=\dfrac{b}{x}+c\dot x+2g\dot y e resolvendo para \dot y, obtemos
\dot y = \frac{1}{2g}\Big(p_y-\frac{b}{x}-c\dot x\Big) = \frac{1}{2g}\!\left(p_y-\frac{b}{x}-c\frac{p_z}{f y^{2}}\right).
Finalmente, de p_x=2a\dot x + c\dot y + f y^{2}\dot z isolamos \dot z:
\dot z = \frac{1}{f y^{2}}\Big(p_x-2a\dot x - c\dot y\Big).
Substituindo as expressões de \dot x e \dot y obtidas acima, temos \dot z em termos de p_x,p_y,p_z,x,y.
Condição necessária para essa inversão simples: f\neq0, g\neq0 e y\neq0. Se algum desses falhar (por exemplo f=0 ou y=0 ou g=0) a inversão é singular e o tratamento requer cuidado (restrições primárias, formalismo de Dirac). Aqui vamos assumir os valores genéricos que tornam a inversão possível para obter a Hamiltoniana regular.

Passo 4

Definição do Hamiltoniano e simplificação algébrica — mini‑aula: o Hamiltoniano é a transformação de Legendre da Lagrangiana,
H(q,p)=\sum_i p_i\dot q_i - L,
onde as \dot q_i são substituídas pelas expressões em termos de (q,p). Quando L=T-V com T quadrática em velocidades, costuma-se obter H=T+V depois de expressar T em termos dos momentos.
Antes de substituir explicitamente as expressões individuais de \dot x,\dot y,\dot z, observe uma simplificação algébrica direta ao calcular \sum p_i\dot q_i - L usando as fórmulas para os momentos:
Calculemos p_x\dot x+p_y\dot y+p_z\dot z usando as expressões intermediárias dos momentos (sem ainda substituir \dot x por p_z/(fy^2)):
\begin{aligned} p_x\dot x &= (2a\dot x + c\dot y + f y^{2}\dot z)\dot x = 2a\dot x^{2} + c\dot x\dot y + f y^{2}\dot x\dot z,\\\ p_y\dot y &= \Big(\frac{b}{x}+c\dot x+2g\dot y\Big)\dot y = \frac{b\dot y}{x} + c\dot x\dot y + 2g\dot y^{2},\\\ p_z\dot z &= (f y^{2}\dot x)\dot z = f y^{2}\dot x\dot z. \end{aligned}
Somando:
p_x\dot x+p_y\dot y+p_z\dot z =2a\dot x^{2}+2c\dot x\dot y+2f y^{2}\dot x\dot z+2g\dot y^{2}+\frac{b\dot y}{x}.
Agora subtrai‑se L. Lembrando L=a\dot x^{2}+c\dot x\dot y+f y^{2}\dot x\dot z+g\dot y^{2}+b\dot y/x - k\sqrt{x^{2}+y^{2}},
\begin{aligned} H &= (p_x\dot x+p_y\dot y+p_z\dot z)-L\\\ &= \big(2a\dot x^{2}+2c\dot x\dot y+2f y^{2}\dot x\dot z+2g\dot y^{2}+\tfrac{b\dot y}{x}\big) - \big(a\dot x^{2}+c\dot x\dot y+f y^{2}\dot x\dot z+g\dot y^{2}+\tfrac{b\dot y}{x}-k\sqrt{x^{2}+y^{2}}\big)\\\ &= a\dot x^{2}+c\dot x\dot y+f y^{2}\dot x\dot z+g\dot y^{2}+k\sqrt{x^{2}+y^{2}}. \end{aligned}
Ou seja,
H = a\dot x^{2}+c\dot x\dot y+f y^{2}\dot x\dot z+g\dot y^{2}+k\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Isto é exatamente a soma das parcelas cinéticas (com os mesmos coeficientes) mais o potencial com sinal positivo, como esperado para H=T+V. Próximo passo: reescrever H usando p e x,y.

Passo 5

Substituir as velocidades pelas expressões em termos dos momentos e simplificar — cálculo direto.
Denotemos para abreviar
u=\dot x=\frac{p_z}{f y^{2}},\qquad v=\dot y=\frac{1}{2g}\!\left(p_y-\frac{b}{x}-c\frac{p_z}{f y^{2}}\right).
Também teremos
\dot z=\frac{1}{f y^{2}}\big(p_x-2a u - c v\big),
mas não precisamos inseri‑la diretamente, pois o termo f y^{2}\dot x\dot z simplifica quando substituímos \dot z: observe o truque algébrico útil:
Calcule f y^{2} u \dot z = u\big(p_x-2a u - c v\big) (pois f y^{2}\dot z=p_x-2a u - c v). Assim, a contribuição f y^{2}\dot x\dot z no H transforma‑se em
f y^{2}u\dot z = u p_x - 2a u^{2} - c u v.
Agora monte H substituindo termo a termo:
\begin{aligned} H &= a u^{2} + c u v + (u p_x - 2a u^{2} - c u v) + g v^{2} + k\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\\ &= u p_x - a u^{2} + g v^{2} + k\sqrt{x^{2}+y^{2}}. \end{aligned}
Substituindo u=\dfrac{p_z}{f y^{2}} e v explicitado:
u p_x = \frac{p_x p_z}{f y^{2}},\qquad a u^{2}=a\frac{p_z^{2}}{f^{2}y^{4}}.
E
g v^{2} = g\left(\frac{p_y-\dfrac{b}{x}-c\frac{p_z}{f y^{2}}}{2g}\right)^{2} = \frac{\big(p_y-\dfrac{b}{x}-c\frac{p_z}{f y^{2}}\big)^{2}}{4g}.
Portanto, a Hamiltoniana expressa em variáveis canônicas (x,y,z,p_x,p_y,p_z) fica:
\boxed{\,H= \frac{p_x p_z}{f y^{2}}-a\frac{p_z^{2}}{f^{2}y^{4}} +\frac{\big(p_y-\dfrac{b}{x}-c\dfrac{p_z}{f y^{2}}\big)^{2}}{4g} +k\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,.}
Observações:
  • Esta expressão assume f\neq0, g\neq0 e y\neq0 para permitir as relações usadas; se alguma dessas condições falha, o procedimento de Legendre exige tratamento por restrições (formalismo de Dirac).
  • Note que H depende de p_x,p_y,p_z e das coordenadas x,y (mas não de z explicitamente).

Passo 6

Constantes de movimento — explicação conceitual e aplicação (Noether/definições).
  • Coordenada z é cíclica: a Lagrangiana não depende explicitamente de z (só aparece \dot z através do produto com \dot x). Pela equação de Euler‑Lagrange para z,
\frac{d}{dt}p_z=\frac{\partial L}{\partial z}=0,
logo
p_z=\text{constante}.
Então sim, existe ao menos uma constante de movimento: o momento conjugado a z, p_z, é conservado. (Este é um caso simples do teorema de Noether: invariância por translação na coordenada z implica conservação de p_z.)
  • Energia/Hamiltoniano: como a Lagrangiana não depende explicitamente do tempo, o Hamiltoniano (energia total) é conservado ao longo da evolução (a derivada temporal de H vale zero quando as equações de movimento são satisfeitas). Assim H é uma constante de movimento também.
Conclusão sobre constantes:
  • p_z é constante ao longo do movimento.
  • H (a energia) também é constante porque L não depende explicitamente do tempo.
Observações adicionais: não há, em geral, outras constantes possíveis a menos que parâmetros assumam valores especiais que introduzam simetrias extras (por exemplo, se b=0 ou c=0 certos acoplamentos desaparecem; se o potencial dependesse apenas de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}\,} e o cinético fosse invariante por rotações no plano xy poderia haver momento angular conservado — aqui, porém, os termos b/x e o acoplamento com y^{2} quebram a invariância de rotação em geral).

Resposta

(a) H= \frac{p_x p_z}{f y^{2}}-a\frac{p_z^{2}}{f^{2}y^{4}} +\frac{\big(p_y-\dfrac{b}{x}-c\dfrac{p_z}{f y^{2}}\big)^{2}}{4g} +k\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
(b) p_z= constante; além disso, como L não depende explicitamente do tempo, H (a energia) também é uma constante de movimento.

Exercícios relacionados