Prova 1 - Números Complexos

  1. Reduza à forma a+j b a expressão
    \frac{j(1+j)^{2}}{j-1}

Passo 1

O enunciado pede para escrever na forma a + jb a expressão\r \displaystyle \frac{j(1+j)^{2}}{j-1}. Vamos usar operações com números complexos: potenciação, multiplicação e racionalização de denominador.

Passo 2

Calcular (1+j)^{2}:\r
(1+j)^{2} = 1 + 2j + j^{2} = 1 + 2j - 1 = 2j.\r
Então o numerador fica\r
j \cdot (1+j)^{2} = j \cdot 2j = 2j^{2} = -2.

Passo 3

Reescrevemos a expressão como\r
\frac{j(1+j)^{2}}{j-1} = \frac{-2}{j-1}.\r
Para eliminar o j do denominador, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de j-1, que é -j-1:\r
\frac{-2}{j-1} \cdot \frac{-j-1}{-j-1} = \frac{-2(-j-1)}{(j-1)(-j-1)}.\r
O denominador vale\r
(j-1)(-j-1) = j(-j) + j(-1) + (-1)(-j) + (-1)(-1) = -j^{2} - j + j + 1 = -(-1) + 1 = 2.

Passo 4

O numerador fica\r
-2(-j-1) = 2j + 2.\r
Logo\r
\frac{-2}{j-1} = \frac{2 + 2j}{2} = 1 + j.

Resposta

1 + j

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