Uma prova tem dois problemas. Sabe-se que 135 alunos acertaram o primeiro, 85 erraram o segundo, 124 acertaram os dois e 56 erraram apenas um problema. Qual é a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso:
Não tenha acertado nenhum problema?

Passo 1

O que o enunciado pede: qual é a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso, não tenha acertado nenhum problema (ou seja, tenha acertado zero questões).
Informações dadas (vou nomear conjuntos para organizar):
\;N = número total de alunos (desconhecido);\n
A = conjunto dos alunos que acertaram o primeiro problema;\n
B = conjunto dos alunos que acertaram o segundo problema.\n
Dados numéricos do enunciado:
|A| = 135
\text{85 alunos erraram o segundo problema}
|A \cap B| = 124
\text{56 alunos erraram apenas um problema}
Observação importante (retirando significado das frases): “85 erraram o segundo” quer dizer que o número de alunos que acertaram o segundo é |B| = N - 85. E “56 erraram apenas um problema” significa que 56 é o número de alunos que acertaram exatamente uma das duas questões (ou seja, exatamente uma correta).

Passo 2

Entender a relação entre as quantidades: o número de alunos que acertaram exatamente uma questão (ou seja, erraram apenas uma) pode ser expresso em termos de A e B.
A fórmula para o número de elementos que acertaram exatamente uma (ou seja, a união exclusora) é
|A\setminus B| + |B\setminus A| = |A| + |B| - 2|A\cap B|.
Explicando por quê, de forma didática:
  • |A| conta todos os que acertaram o 1º (inclui os que acertaram os dois).
  • |B| conta todos os que acertaram o 2º (inclui os que acertaram os dois).
  • Se eu somar |A|+|B| os que acertaram ambos ficam contados duas vezes, então para obter só os que acertaram exatamente um eu preciso retirar duas vezes os que estão em A\cap B. Assim obtemos a expressão acima.
Agora usamos os números conhecidos:
56 = |A| + |B| - 2|A\cap B|.
Substituindo |A|=135 e |A\cap B|=124:
56 = 135 + |B| - 2\cdot 124.

Passo 3

Resolver a equação para |B|.
Calcule 2\cdot 124:
2\cdot 124 = 248.
Substituindo:
56 = 135 + |B| - 248.
Isolando |B|:
|B| = 56 -135 + 248.
Calcule passo a passo:
56 - 135 = -79,
-79 + 248 = 169.
Portanto
|B| = 169.
Lembrando que também sabemos que |B| = N - 85 (porque 85 erraram o segundo), então
N - 85 = 169.

Passo 4

Determinar N, o total de alunos.
Isolando N:
N = 169 + 85.
Somando:
N = 254.
Então o total de alunos é \;254.

Passo 5

Queremos o número de alunos que não acertaram nenhum problema, ou seja, que acertaram zero questões. Isso é o complemento dos que acertaram pelo menos uma. Número que acertaram pelo menos uma é |A \cup B|, dado por inclusão-exclusão simples:
|A \cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|.
Substituindo os valores:
|A \cup B| = 135 + 169 - 124.
Calcule:
135 + 169 = 304,
304 - 124 = 180.
Então 180 alunos acertaram pelo menos uma questão. Logo o número que não acertou nenhuma é
\text{nenhum} = N - |A \cup B| = 254 - 180 = 74.

Passo 6

Agora a probabilidade pedida é o número de alunos que não acertaram nenhum dividido pelo total:
P(\text{nenhum}) = \frac{74}{254}.
Simplificamos a fração dividindo numerador e denominador por 2:
\frac{74}{254} = \frac{37}{127}.
Se quiser uma aproximação decimal (para intuir o valor):
\frac{37}{127}\approx 0{,}291.
Força aí — você já tem a resposta e o raciocínio completo para justificar na prova!

Resposta

\dfrac{37}{127}

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