Uma prova tem dois problemas. Sabe-se que 135 alunos acertaram o primeiro, 85 erraram o segundo, 124 acertaram os dois e 56 erraram apenas um problema. Qual é a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso:
Não tenha acertado nenhum problema?
Não tenha acertado nenhum problema?
Passo 1
O que o enunciado pede: qual é a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso, não tenha acertado nenhum problema (ou seja, tenha acertado zero questões).
Informações dadas (vou nomear conjuntos para organizar):
= número total de alunos (desconhecido);\n
= conjunto dos alunos que acertaram o primeiro problema;\n
= conjunto dos alunos que acertaram o segundo problema.\n
Dados numéricos do enunciado:
Observação importante (retirando significado das frases): “85 erraram o segundo” quer dizer que o número de alunos que acertaram o segundo é
. E “56 erraram apenas um problema” significa que
é o número de alunos que acertaram exatamente uma das duas questões (ou seja, exatamente uma correta).
Passo 2
Entender a relação entre as quantidades: o número de alunos que acertaram exatamente uma questão (ou seja, erraram apenas uma) pode ser expresso em termos de
e
.
A fórmula para o número de elementos que acertaram exatamente uma (ou seja, a união exclusora) é
Explicando por quê, de forma didática:
-
conta todos os que acertaram o 1º (inclui os que acertaram os dois). -
conta todos os que acertaram o 2º (inclui os que acertaram os dois). - Se eu somar
os que acertaram ambos ficam contados duas vezes, então para obter só os que acertaram exatamente um eu preciso retirar duas vezes os que estão em . Assim obtemos a expressão acima.
Agora usamos os números conhecidos:
Substituindo
e
:
Passo 3
Resolver a equação para
.
Calcule
:
Substituindo:
Isolando
:
Calcule passo a passo:
Portanto
Lembrando que também sabemos que
(porque 85 erraram o segundo), então
Passo 4
Determinar
, o total de alunos.
Isolando
:
Somando:
Então o total de alunos é
.
Passo 5
Queremos o número de alunos que não acertaram nenhum problema, ou seja, que acertaram zero questões. Isso é o complemento dos que acertaram pelo menos uma. Número que acertaram pelo menos uma é
, dado por inclusão-exclusão simples:
Substituindo os valores:
Calcule:
Então
alunos acertaram pelo menos uma questão. Logo o número que não acertou nenhuma é
Passo 6
Agora a probabilidade pedida é o número de alunos que não acertaram nenhum dividido pelo total:
Simplificamos a fração dividindo numerador e denominador por
:
Se quiser uma aproximação decimal (para intuir o valor):
Força aí — você já tem a resposta e o raciocínio completo para justificar na prova!