Uma prova tem dois problemas. Sabe-se que 135 alunos acertaram o primeiro, 85 erraram o segundo, 124 acertaram os dois e 56 erraram apenas um problema. Qual é a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso:
Tenha acertado apenas o segundo problema?
Tenha acertado apenas o segundo problema?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Qual é a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso, tenha acertado apenas o segundo problema?”\n
Dados fornecidos (vou representar conjuntos para ficar mais claro):\n
Dados fornecidos (vou representar conjuntos para ficar mais claro):\n
-
, onde é o conjunto dos alunos que acertaram o primeiro problema. -
alunos erraram o segundo problema. (Isso implica uma relação entre o total de alunos e os que acertaram o segundo.) -
, onde é o conjunto dos alunos que acertaram o segundo problema. -
alunos erraram apenas um problema (ou seja, erraram exatamente um dos dois).
O que se pede: a probabilidade de um aluno ter acertado apenas o segundo problema, isto é, a proporção
, onde
é o número total de alunos.
Passo 2
Vamos definir claramente as quantidades e o que cada símbolo representa (isso ajuda na prova):\n
-
= número total de alunos (é o que precisamos descobrir para calcular a probabilidade). -
= alunos que acertaram o primeiro problema, com . -
= alunos que acertaram o segundo problema, com . -
= alunos que acertaram apenas o segundo problema (é o que queremos contar).
Observação sobre o dado “85 erraram o segundo”: os que erraram o segundo são
. Então
Passo 3
Explicar a relação entre “erraram apenas um problema” e os conjuntos:\n
“Erraram apenas um problema” significa que o aluno errou exatamente um dos dois, logo acertou exatamente o outro. Em termos de conjuntos, isso é equivalente a terem acertado exatamente um dos problemas — ou seja, o número de elementos que estão em ou em
mas não em ambos. Esse conjunto é a diferença simétrica
(lê-se “A delta B”) e tem tamanho
“Erraram apenas um problema” significa que o aluno errou exatamente um dos dois, logo acertou exatamente o outro. Em termos de conjuntos, isso é equivalente a terem acertado exatamente um dos problemas — ou seja, o número de elementos que estão em
Aqui foi usado o fato conhecido (fórmula da diferença simétrica / contagem de “exatamente um” em dois conjuntos). No enunciado sabemos que esse valor é
, então temos a equação
Passo 4
Agora substituímos os valores conhecidos na equação da diferença simétrica para encontrar
:\n
Substituindo e
,
Substituindo
Calcule passo a passo: primeiro
. Então a equação fica
Isolando
,
Calcule:
e
. Portanto
Passo 5
Com
e sabendo que
(do dado “85 erraram o segundo”), calculamos
:\n
Passo 6
Agora contamos quantos acertaram apenas o segundo problema: isso é
. Substituindo:
Logo existem
alunos que acertaram somente o segundo problema.
Passo 7
Finalmente, a probabilidade pedida é a fração de alunos que acertaram apenas o segundo problema sobre o total:
Essa fração não simplifica (o máximo divisor comum de
e
é
), então a resposta final pode ser dada como
(aproximadamente
, ou
).