Uma prova tem dois problemas. Sabe-se que 135 alunos acertaram o primeiro, 85 erraram o segundo, 124 acertaram os dois e 56 erraram apenas um problema. Qual é a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso:
Tenha acertado apenas o segundo problema?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual é a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso, tenha acertado apenas o segundo problema?”\n
Dados fornecidos (vou representar conjuntos para ficar mais claro):\n
  • |A| = 135, onde A é o conjunto dos alunos que acertaram o primeiro problema.
  • 85 alunos erraram o segundo problema. (Isso implica uma relação entre o total de alunos e os que acertaram o segundo.)
  • |A\cap B| = 124, onde B é o conjunto dos alunos que acertaram o segundo problema.
  • 56 alunos erraram apenas um problema (ou seja, erraram exatamente um dos dois).
O que se pede: a probabilidade de um aluno ter acertado apenas o segundo problema, isto é, a proporção \dfrac{|B\setminus A|}{N}, onde N é o número total de alunos.

Passo 2

Vamos definir claramente as quantidades e o que cada símbolo representa (isso ajuda na prova):\n
  • N = número total de alunos (é o que precisamos descobrir para calcular a probabilidade).
  • A = alunos que acertaram o primeiro problema, com |A|=135.
  • B = alunos que acertaram o segundo problema, com |A\cap B|=124.
  • B\setminus A = alunos que acertaram apenas o segundo problema (é o que queremos contar).
Observação sobre o dado “85 erraram o segundo”: os que erraram o segundo são N - |B|. Então
|B| = N - 85.

Passo 3

Explicar a relação entre “erraram apenas um problema” e os conjuntos:\n
“Erraram apenas um problema” significa que o aluno errou exatamente um dos dois, logo acertou exatamente o outro. Em termos de conjuntos, isso é equivalente a terem acertado exatamente um dos problemas — ou seja, o número de elementos que estão em A ou em B mas não em ambos. Esse conjunto é a diferença simétrica A\triangle B (lê-se “A delta B”) e tem tamanho
|A\triangle B| = |A| + |B| - 2|A\cap B|.
Aqui foi usado o fato conhecido (fórmula da diferença simétrica / contagem de “exatamente um” em dois conjuntos). No enunciado sabemos que esse valor é 56, então temos a equação
|A| + |B| - 2|A\cap B| = 56.

Passo 4

Agora substituímos os valores conhecidos na equação da diferença simétrica para encontrar |B|:\n
Substituindo |A|=135 e |A\cap B|=124,
135 + |B| - 2\cdot 124 = 56.
Calcule passo a passo: primeiro 2\cdot 124 = 248. Então a equação fica
135 + |B| - 248 = 56.
Isolando |B|,
|B| = 56 + 248 - 135.
Calcule: 56 + 248 = 304 e 304 - 135 = 169. Portanto
|B| = 169.

Passo 5

Com |B|=169 e sabendo que |B| = N - 85 (do dado “85 erraram o segundo”), calculamos N:\n
N - 85 = 169 \quad\Rightarrow\quad N = 169 + 85 = 254.

Passo 6

Agora contamos quantos acertaram apenas o segundo problema: isso é |B\setminus A| = |B| - |A\cap B|. Substituindo:
|B\setminus A| = 169 - 124 = 45.
Logo existem 45 alunos que acertaram somente o segundo problema.

Passo 7

Finalmente, a probabilidade pedida é a fração de alunos que acertaram apenas o segundo problema sobre o total:
\text{Probabilidade} = \frac{|B\setminus A|}{N} = \frac{45}{254}.
Essa fração não simplifica (o máximo divisor comum de 45 e 254 é 1), então a resposta final pode ser dada como \dfrac{45}{254} (aproximadamente 0,177, ou 17{,}7\%).

Resposta

\dfrac{45}{254}

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