Provar que \left|z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}\right| \leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\cdots+\left|z_{n}\right| dê a interpretação geométrica.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a desigualdade dos módulos de somas de números complexos, isto é, para quaisquer complexos z_{1},z_{2},\dots,z_{n},
\bigl|z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}\bigr|\le |z_{1}|+|z_{2}|+\cdots+|z_{n}|.
O conteúdo principal é a Desigualdade Triangular em \mathbb{C} e a interpretação geométrica da soma de vetores no plano complexo.

Passo 2

Lembramos primeiro da versão para dois termos: para quaisquer z,w\in\mathbb{C} vale
|z+w|\le |z|+|w|.
Essa desigualdade decorre do fato de que, no plano, o comprimento do lado de um triângulo é no máximo a soma dos comprimentos dos outros dois lados.

Passo 3

Para estender a dois termos para n termos, aplicamos a desigualdade triangular repetidas vezes. Definimos
S_{k}=z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{k}.
Então
|S_{k}+z_{k+1}|\le |S_{k}|+|z_{k+1}|.
Isto dá, para k=1,
|z_{1}+z_{2}|\le |z_{1}|+|z_{2}|,
e em seguida, supondo
|S_{k}|\le |z_{1}|+\cdots+|z_{k}|,
obtemos
|S_{k+1}|=|S_{k}+z_{k+1}|\le |S_{k}|+|z_{k+1}|\le\bigl(|z_{1}|+\cdots+|z_{k}|\bigr)+|z_{k+1}|.
Por indução, chega-se a
|S_{n}|=|z_{1}+\cdots+z_{n}|\le |z_{1}|+\cdots+|z_{n}|.

Passo 4

Geom­etricamente, cada número complexo z_{k} pode ser visto como um vetor no plano que parte da origem e chega ao ponto associado a z_{k}. A soma z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n} corresponde ao vetor obtido ao “colar” cada vetor z_{k} um após o outro (polígono de vértices encadeados). A desigualdade diz que o comprimento desse vetor resultante não ultrapassa a soma dos comprimentos dos vetores originais, o que é exatamente a regra do polígono ou da desigualdade triangular em geometria vetorial.

Resposta

\bigl|z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}\bigr|\;\le\;|z_{1}|+|z_{2}|+\cdots+|z_{n}|,
com interpretação geométrica: ao somar vetores no plano, o comprimento do deslocamento total é no máximo a soma dos comprimentos de cada etapa.

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