Prove o teorema de De Moivre:
(\cos \theta+i \operatorname{sen} \theta)^{n}=\cos n \theta+i \operatorname{sen} n \theta

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo número natural n, vale
(\cos\theta + i \sin\theta)^{n} = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta).
O conteúdo principal é prova por indução aplicada a números complexos em forma polar, usando as fórmulas de adição de cosseno e seno.

Passo 2

Caso base: para n=1 temos
(\cos\theta + i \sin\theta)^1 = \cos\theta + i \sin\theta,
que coincide com \cos(1\cdot\theta) + i \sin(1\cdot\theta). Logo, o caso n=1 é verdadeiro.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que, para algum n\ge1, valha
(\cos\theta + i \sin\theta)^{n} = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta).

Passo 4

Passo indutivo: analisamos o expoente n+1. Escrevemos
(\cos\theta + i \sin\theta)^{n+1} = (\cos\theta + i \sin\theta)^{n}\,(\cos\theta + i \sin\theta).
Pela hipótese de indução, isto é
\bigl(\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)\bigr)\,(\cos\theta + i \sin\theta).
Fazendo a multiplicação e lembrando que i^2=-1, obtemos
\cos(n\theta)\cos\theta - \sin(n\theta)\sin\theta \;+\; i\bigl[\cos(n\theta)\sin\theta + \sin(n\theta)\cos\theta\bigr].

Passo 5

Aplicamos as fórmulas de adição de ângulos:
\cos\bigl(n\theta + \theta\bigr) = \cos(n\theta)\cos\theta - \sin(n\theta)\sin\theta,
\sin\bigl(n\theta + \theta\bigr) = \sin(n\theta)\cos\theta + \cos(n\theta)\sin\theta.
Portanto a expressão do passo anterior é exatamente
\cos\bigl((n+1)\theta\bigr) + i \sin\bigl((n+1)\theta\bigr),
o que fecha o passo indutivo.

Passo 6

Concluímos por indução que, para todo n\in\mathbb{N},
(\cos\theta + i \sin\theta)^{n} = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta).

Resposta

A demonstração por indução mostra que o Teorema de De Moivre é válido para todo n\in\mathbb{N}:
(\cos\theta + i \sin\theta)^{n} = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta).

Exercícios relacionados