Provar que se
e
são matrizes que comutam então valem as seguintes igualdades:
c)
.
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas matrizes
e
que comutam, ou seja,
. Queremos provar que:
Para isso, vamos precisar usar a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes e a condição de que
e
comutam.
Passo 2
Vamos começar expandindo
. Por definição, isso significa multiplicar
três vezes:
Passo 3
Vamos multiplicar as duas primeiras matrizes:
Aqui, usamos a propriedade distributiva para multiplicar cada termo de
pelo outro.
Passo 4
Como
e
comutam, sabemos que
. Portanto, podemos simplificar a expressão:
Passo 5
Agora, multiplicamos o resultado pela terceira
:
Distribuímos cada termo de
por
.
Passo 6
Novamente, usando
, combinamos os termos semelhantes:
Resposta
Portanto, provamos que: