Sejam os vetores u, v e w. Prove que: Os vetores u, v e w são LI se, e somente se, os vetores u1=u+v, u2=u-w e u3=v-w são LI.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores, u, v e w, e queremos provar que esses três vetores são linearmente independentes (LI) se, e somente se, os vetores u1 = u + v, u2 = u - w e u3 = v - w também forem LI. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Quer dizer que a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se au + bv + cw = 0 implica que a = b = c = 0, então os vetores são LI.

Passo 3

Vamos provar a primeira parte: se u, v e w são LI, então u1, u2 e u3 também são LI. Suponha que exista k1u1 + k2u2 + k3u3 = 0. Substituindo os valores de u1, u2 e u3, temos:
k1(u + v) + k2(u - w) + k3(v - w) = 0

Passo 4

Vamos distribuir os coeficientes:
k1u + k1v + k2u - k2w + k3v - k3w = 0
Agrupando termos semelhantes:
(k1 + k2)u + (k1 + k3)v + (-k2 - k3)w = 0

Passo 5

Como u, v e w são LI, os coeficientes devem ser zero:
k1 + k2 = 0 k1 + k3 = 0 - k2 - k3 = 0

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  • Da primeira equação: k2 = -k1
  • Da segunda equação: k3 = -k1
  • Da terceira equação: -(-k1) - (-k1) = 0 Rightarrow k1 - k1 = 0 (válido para qualquer k1)
Mas, substituindo k2 e k3 em termos de k1, e considerando que todas as equações se reduzem a k1 = 0, concluímos que k1 = k2 = k3 = 0.

Passo 7

Agora, vamos provar a outra direção: se u1, u2 e u3 são LI, então u, v e w também são LI. Suponha que exista au + bv + cw = 0.

Passo 8

Queremos relacionar essa combinação linear com as combinações de u1, u2 e u3. Podemos expressar u, v e w em termos de u1, u2 e u3:
u = u1 + u22 v = u1 + u32 w = u2 + u32

Passo 9

Substituindo na combinação linear:
a(u1 + u22) + b(u1 + u32) + c(u2 + u32) = 0
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
a(u1 + u2) + b(u1 + u3) + c(u2 + u3) = 0

Passo 10

Distribuindo os coeficientes:
(a + b)u1 + (a + c)u2 + (b + c)u3 = 0

Passo 11

Como u1, u2 e u3 são LI, os coeficientes devem ser zero:
a + b = 0 a + c = 0 b + c = 0

Passo 12

Resolvendo o sistema:
  • Da primeira equação: b = -a
  • Da segunda equação: c = -a
  • Da terceira equação: -a - a = 0 Rightarrow -2a = 0 Rightarrow a = 0
    Então, a = b = c = 0

Resposta

Portanto, os vetores u, v e w são linearmente independentes se, e somente se, os vetores u1 = u + v, u2 = u - w e u3 = v - w também forem linearmente independentes.

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