Sejam os vetores
,
e
. Prove que: Os vetores
e
são LI se, e somente se, os vetores
e
são LI.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores,
,
e
, e queremos provar que esses três vetores são linearmente independentes (LI) se, e somente se, os vetores
,
e
também forem LI. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Quer dizer que a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se
implica que
, então os vetores são LI.
Passo 3
Vamos provar a primeira parte: se
,
e
são LI, então
,
e
também são LI. Suponha que exista
. Substituindo os valores de
,
e
, temos:
Passo 4
Vamos distribuir os coeficientes:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 5
Como
,
e
são LI, os coeficientes devem ser zero:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
- Da terceira equação:
(válido para qualquer )
Mas, substituindo
e
em termos de
, e considerando que todas as equações se reduzem a
, concluímos que
.
Passo 7
Agora, vamos provar a outra direção: se
,
e
são LI, então
,
e
também são LI. Suponha que exista
.
Passo 8
Queremos relacionar essa combinação linear com as combinações de
,
e
. Podemos expressar
,
e
em termos de
,
e
:
Passo 9
Substituindo na combinação linear:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Passo 10
Distribuindo os coeficientes:
Passo 11
Como
,
e
são LI, os coeficientes devem ser zero:
Passo 12
Resolvendo o sistema:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
- Da terceira equação:
Então,
Resposta
Portanto, os vetores
,
e
são linearmente independentes se, e somente se, os vetores
,
e
também forem linearmente independentes.