Provar que para um sistema massa-mola com amortecimento onde a equação de movimento é:
m \ddot{x}+c \dot{x}+k x=0
com condições de contorno são:
x(t=0)=x_{0}
\dot{x}(t=0)=\dot{x_{0}}
E considerando
a. Sistema subamortecido (\xi<1),
A solução pode ser escrita como:
x(t)=
=e^{-\zeta \omega_{n} t}\left\{C_{1}^{\prime} \cos \sqrt{1-\zeta^{2}} \omega_{n} t+C_{2}^{\prime} \sin \sqrt{1-\zeta^{2}} \omega_{n} t\right\}
onde
C_{1}^{\prime}=x_{0}
e
C_{2}^{\prime}=\frac{\dot{x}_{0}+\zeta \omega_{n} x_{0}}{\sqrt{1-\zeta^{2}} \omega_{n}}
Prove também que a solução pode ser escrita como:
x(t)=
\begin{aligned} & =X_{0} e^{-\zeta \omega_{n} t} \sin \left(\sqrt{1-\zeta^{2}} \omega_{n} t+\phi_{0}\right) \\\ & =X e^{-\zeta \omega_{n} t} \cos \left(\sqrt{1-\zeta^{2}} \omega_{n} t-\varphi\right) \end{aligned}
onde
X=X_{0}=\sqrt{\left(C_{1}^{\prime}\right)^{2}+\left(C_{2}^{\prime}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{x_{0}^{2} \omega_{n}^{2}+\dot{x}_{0}^{2}+2 x_{0} \dot{x_{0} \zeta \omega_{n}}}}{\sqrt{1-\zeta^{2}} \omega_{n}}
e
\begin{aligned} \phi_{0} & =\tan ^{-1}\left(\frac{C_{1}^{\prime}}{C_{2}^{\prime}}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{x_{0} \omega_{n} \sqrt{1-\zeta^{2}}}{\dot{x}_{0}+\zeta \omega_{n} x_{0}}\right) \\\ \varphi & =\tan ^{-1}\left(\frac{C_{2}^{\prime}}{C_{1}^{\prime}}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{\dot{x}_{0}+\zeta \omega_{n} x_{0}}{x_{0} \omega_{n} \sqrt{1-\zeta^{2}}}\right) \end{aligned}

Passo 1

Dados do problema:
m \ddot{x}+c \dot{x}+k x=0
com condições iniciais
x(0)=x_{0},\qquad \dot{x}(0)=\dot{x}_{0}.
O enunciado pede, no caso subamortecido ( \zeta<1), mostrar duas formas equivalentes da solução:
  1. Forma exponencial multiplicando combinação de seno e cosseno, com constantes C_{1}^{\prime} e C_{2}^{\prime} e as expressões para essas constantes;
  2. Forma de amplitude-fase (seno com deslocamento de fase e cosseno com fase) e as fórmulas para a amplitude X_0 (igual a X) e os ângulos de fase \phi_0 e \varphi.
    Além disso, devemos usar as quantidades usuais \omega_{n} (frequência natural) e \zeta (razão de amortecimento), que serão introduzidas explicitamente na resolução.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão dividindo por m e definindo \omega_{n} e \zeta.
Dividindo por m obtemos
\ddot{x}+\frac{c}{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x=0.
Definimos a frequência natural não amortecida
\omega_{n}=\sqrt{\frac{k}{m}}
e a razão de amortecimento
\zeta=\frac{c}{2m\omega_{n}}=\frac{c}{2\sqrt{km}}.
Substituindo essas definições a equação fica
\ddot{x}+2\zeta\omega_{n}\dot{x}+\omega_{n}^{2}x=0.
Isto é a forma padrão para trabalhar. Aqui \omega_{n}>0 e o caso subamortecido significa \zeta<1.

Passo 3

Resolver a equação homogênea com solução do tipo exponencial e encontrar as raízes características.
Propondo x(t)=e^{\lambda t} e substituindo na equação padrão obtemos a equação característica
\lambda^{2}+2\zeta\omega_{n}\lambda+\omega_{n}^{2}=0.
O discriminante é
\Delta=(2\zeta\omega_{n})^{2}-4\omega_{n}^{2}=4\omega_{n}^{2}(\zeta^{2}-1).
Como \zeta<1 temos \Delta<0, logo as raízes são complexas conjugadas:
\lambda=-\zeta\omega_{n}\pm i\,\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}.
Definindo a frequência amortecida
\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}},
as raízes ficam
\lambda=-\zeta\omega_{n}\pm i\omega_{d}.
Pela teoria de equações lineares com raízes complexas, a solução geral real é
x(t)=e^{-\zeta\omega_{n} t}\left\{C_{1}^{\prime}\cos(\omega_{d} t)+C_{2}^{\prime}\sin(\omega_{d} t)\right\},
onde C_{1}^{\prime} e C_{2}^{\prime} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Aplicar as condições iniciais para determinar C_{1}^{\prime} e C_{2}^{\prime}.
Primeiro, em t=0:
x(0)=e^{0}\left\{C_{1}^{\prime}\cos 0 + C_{2}^{\prime}\sin 0\right\}=C_{1}^{\prime}.
Portanto
C_{1}^{\prime}=x_{0}.
Agora calculamos \dot{x}(t). Usamos a regra do produto e derivadas de seno/cosseno:
x(t)=e^{-\zeta\omega_{n} t}\left(C_{1}^{\prime}\cos\omega_{d}t + C_{2}^{\prime}\sin\omega_{d}t\right).
Derivando,
\dot{x}(t)=-\zeta\omega_{n}e^{-\zeta\omega_{n} t}\big(C_{1}^{\prime}\cos\omega_{d}t + C_{2}^{\prime}\sin\omega_{d}t\big) + e^{-\zeta\omega_{n} t}\big(-C_{1}^{\prime}\omega_{d}\sin\omega_{d}t + C_{2}^{\prime}\omega_{d}\cos\omega_{d}t\big).
Em t=0 isso dá
\dot{x}(0)=-\zeta\omega_{n}\big(C_{1}^{\prime}\big) + \omega_{d}\big(C_{2}^{\prime}\big).
Usando C_{1}^{\prime}=x_{0} e \dot{x}(0)=\dot{x}_{0}, obtemos
\dot{x}_{0}=-\zeta\omega_{n}x_{0} + \omega_{d}C_{2}^{\prime}.
Isolando C_{2}^{\prime},
C_{2}^{\prime}=\frac{\dot{x}_{0}+\zeta\omega_{n}x_{0}}{\omega_{d}}.
Substituindo \omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}} temos explicitamente
C_{2}^{\prime}=\frac{\dot{x}_{0}+\zeta\omega_{n}x_{0}}{\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}}.
Assim obtivemos as constantes pedidas:
C_{1}^{\prime}=x_{0},\qquad C_{2}^{\prime}=\frac{\dot{x}_{0}+\zeta\omega_{n}x_{0}}{\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}}.

Passo 5

Mostrar a forma amplitude-fase a partir da combinação C_{1}^{\prime}\cos\omega_{d}t + C_{2}^{\prime}\sin\omega_{d}t.
Temos a identidade trigonométrica linear: dadas constantes A e B,
A\cos\theta + B\sin\theta = R\sin(\theta+\phi_{0}) = R\cos(\theta-\varphi),
onde
R=\sqrt{A^{2}+B^{2}},\qquad \phi_{0}=\tan^{-1}\!\left(\frac{A}{B}\right),\qquad \varphi=\tan^{-1}\!\left(\frac{B}{A}\right),
observando as quadrantes adequados (a fórmula do arco-tangente dá a razão; se necessário ajusta-se o quadrante, mas aqui a expressão em termos de A e B é suficiente).
Aplicando com A=C_{1}^{\prime} e B=C_{2}^{\prime} obtemos
C_{1}^{\prime}\cos\omega_{d}t + C_{2}^{\prime}\sin\omega_{d}t = X_{0}\sin(\omega_{d}t+\phi_{0}) = X\cos(\omega_{d}t-\varphi),
onde
X_{0}=X=\sqrt{\big(C_{1}^{\prime}\big)^{2}+\big(C_{2}^{\prime}\big)^{2}},
\phi_{0}=\tan^{-1}\!\left(\frac{C_{1}^{\prime}}{C_{2}^{\prime}}\right), \qquad \varphi=\tan^{-1}\!\left(\frac{C_{2}^{\prime}}{C_{1}^{\prime}}\right).
Multiplicando por e^{-\zeta\omega_{n} t} recuperamos as formas desejadas:
x(t)=X_{0}e^{-\zeta\omega_{n} t}\sin(\omega_{d}t+\phi_{0})=X e^{-\zeta\omega_{n} t}\cos(\omega_{d}t-\varphi).

Passo 6

Expressar X_{0}=X e \phi_{0},\varphi em termos de x_{0} e \dot{x}_{0}.
Substituímos C_{1}^{\prime}=x_{0} e C_{2}^{\prime}=(\dot{x}_{0}+\zeta\omega_{n}x_{0})/\omega_{d} na fórmula de X_{0}:
X_{0}^{2}=x_{0}^{2}+\left(\frac{\dot{x}_{0}+\zeta\omega_{n}x_{0}}{\omega_{d}}\right)^{2}.
Lembrando que \omega_{d}^{2}=\omega_{n}^{2}(1-\zeta^{2}), escrevemos com denominador comum:
X_{0}^{2}=\frac{x_{0}^{2}\omega_{n}^{2}(1-\zeta^{2})+(\dot{x}_{0}+\zeta\omega_{n}x_{0})^{2}}{\omega_{n}^{2}(1-\zeta^{2})}.
Expandindo o numerador:
x_{0}^{2}\omega_{n}^{2}(1-\zeta^{2})+(\dot{x}_{0}+\zeta\omega_{n}x_{0})^{2} = x_{0}^{2}\omega_{n}^{2} + \dot{x}_{0}^{2} + 2x_{0}\dot{x}_{0}\zeta\omega_{n}.
Portanto
X_{0}^{2}=\frac{x_{0}^{2}\omega_{n}^{2} + \dot{x}_{0}^{2} + 2x_{0}\dot{x}_{0}\zeta\omega_{n}}{\omega_{n}^{2}(1-\zeta^{2})},
e tomando raiz positiva (amplitude)
X_{0}=X=\frac{\sqrt{x_{0}^{2}\omega_{n}^{2} + \dot{x}_{0}^{2} + 2x_{0}\dot{x}_{0}\zeta\omega_{n}}}{\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}}.
As fases ficam, usando as expressões anteriores:
\phi_{0}=\tan^{-1}\!\left(\frac{C_{1}^{\prime}}{C_{2}^{\prime}}\right) =\tan^{-1}\!\left(\frac{x_{0}\,\omega_{d}}{\dot{x}_{0}+\zeta\omega_{n}x_{0}}\right) =\tan^{-1}\!\left(\frac{x_{0}\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}}{\dot{x}_{0}+\zeta\omega_{n}x_{0}}\right),
\varphi=\tan^{-1}\!\left(\frac{C_{2}^{\prime}}{C_{1}^{\prime}}\right) =\tan^{-1}\!\left(\frac{\dot{x}_{0}+\zeta\omega_{n}x_{0}}{x_{0}\,\omega_{d}}\right) =\tan^{-1}\!\left(\frac{\dot{x}_{0}+\zeta\omega_{n}x_{0}}{x_{0}\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}}\right).

Resposta

x(t)=e^{-\zeta\omega_{n} t}\left\{x_{0}\cos\big(\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}\,t\big) +\frac{\dot{x}_{0}+\zeta\omega_{n}x_{0}}{\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}}\sin\big(\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}\,t\big)\right\}
x(t)=X_{0}e^{-\zeta\omega_{n} t}\sin\!\left(\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}\,t+\phi_{0}\right)
x(t)=X e^{-\zeta\omega_{n} t}\cos\!\left(\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}\,t-\varphi\right)
X=X_{0}=\sqrt{\big(C_{1}^{\prime}\big)^{2}+\big(C_{2}^{\prime}\big)^{2}} =\frac{\sqrt{x_{0}^{2}\omega_{n}^{2}+\dot{x}_{0}^{2}+2x_{0}\dot{x}_{0}\zeta\omega_{n}}}{\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}}
\phi_{0}=\tan^{-1}\!\left(\frac{C_{1}^{\prime}}{C_{2}^{\prime}}\right) =\tan^{-1}\!\left(\frac{x_{0}\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}}{\dot{x}_{0}+\zeta\omega_{n}x_{0}}\right)
\varphi=\tan^{-1}\!\left(\frac{C_{2}^{\prime}}{C_{1}^{\prime}}\right) =\tan^{-1}\!\left(\frac{\dot{x}_{0}+\zeta\omega_{n}x_{0}}{x_{0}\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}}\right)

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