Provar que para um sistema massa-mola com amortecimento onde a equação de movimento é:
com condições de contorno são:
E considerando
a. Sistema subamortecido
,
A solução pode ser escrita como:
onde
e
Prove também que a solução pode ser escrita como:
onde
e
a. Sistema subamortecido
Passo 1
Dados do problema:
com condições iniciais
O enunciado pede, no caso subamortecido (
), mostrar duas formas equivalentes da solução:
- Forma exponencial multiplicando combinação de seno e cosseno, com constantes
e e as expressões para essas constantes; - Forma de amplitude-fase (seno com deslocamento de fase e cosseno com fase) e as fórmulas para a amplitude
(igual a ) e os ângulos de fase e .
Além disso, devemos usar as quantidades usuais(frequência natural) e (razão de amortecimento), que serão introduzidas explicitamente na resolução.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão dividindo por
e definindo
e
.
Dividindo por
obtemos
Definimos a frequência natural não amortecida
e a razão de amortecimento
Substituindo essas definições a equação fica
Isto é a forma padrão para trabalhar. Aqui
e o caso subamortecido significa
.
Passo 3
Resolver a equação homogênea com solução do tipo exponencial e encontrar as raízes características.
Propondo
e substituindo na equação padrão obtemos a equação característica
O discriminante é
Como
temos
, logo as raízes são complexas conjugadas:
Definindo a frequência amortecida
as raízes ficam
Pela teoria de equações lineares com raízes complexas, a solução geral real é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Aplicar as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro, em
:
Portanto
Agora calculamos
. Usamos a regra do produto e derivadas de seno/cosseno:
Derivando,
Em
isso dá
Usando
e
, obtemos
Isolando
,
Substituindo
temos explicitamente
Assim obtivemos as constantes pedidas:
Passo 5
Mostrar a forma amplitude-fase a partir da combinação
.
Temos a identidade trigonométrica linear: dadas constantes
e
,
onde
observando as quadrantes adequados (a fórmula do arco-tangente dá a razão; se necessário ajusta-se o quadrante, mas aqui a expressão em termos de
e
é suficiente).
Aplicando com
e
obtemos
onde
Multiplicando por
recuperamos as formas desejadas:
Passo 6
Expressar
e
em termos de
e
.
Substituímos
e
na fórmula de
:
Lembrando que
, escrevemos com denominador comum:
Expandindo o numerador:
Portanto
e tomando raiz positiva (amplitude)
As fases ficam, usando as expressões anteriores: