Use o software python ou Matlab para graficar a resposta de vibração de:
Um sistema viscosamente amortecido com \mathrm{m}=4 \mathrm{~kg}, \mathrm{k}=2500 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, \mathrm{x}_{0}=100 \mathrm{~mm}, \dot{\mathrm{x}}_{0}=-10 \mathrm{m} / \mathrm{s}, \mathrm{c}=10 \mathrm{~N} \mathrm{~s} / \mathrm{m}

Passo 1

O enunciado pede para graficar a resposta de vibração livre de um sistema massa-mola com amortecimento viscoso, usando Python ou Matlab.
Dados fornecidos (vou escrever todos os valores com unidades):
\mathrm{m}=4\\ \mathrm{kg}
\mathrm{k}=2500\\ \mathrm{N/m}
\mathrm{x}_0=100\\ \mathrm{mm} (atenção: convertemos para metros mais abaixo)
\dot{\mathrm{x}}_0=-10\\ \mathrm{m/s}
\mathrm{c}=10\\ \mathrm{N\,s/m}
Pergunta explícita: produzir um gráfico temporal de \mathrm{x}(t) (resposta livre dada as condições iniciais). Não preciso pedir nada a você; vou resolver direto e mostrar o código executável (Python e alternativa Matlab).

Passo 2

Escrevo a equação de movimento e explico cada termo (para você entender e poder reproduzir na prova):
A equação diferencial do sistema massa-mola-amortecedor em vibração livre é
\mathrm{m}\,\ddot{x}(t) + \mathrm{c}\,\dot{x}(t) + \mathrm{k}\,x(t) = 0.
Explicação dos termos:
  • \mathrm{m} é a massa (kg).
  • \mathrm{c} é o coeficiente de amortecimento viscoso ( \mathrm{N\,s/m}).
  • \mathrm{k} é a rigidez da mola ( \mathrm{N/m}).
  • x(t) é o deslocamento em função do tempo (m).
  • \dot{x}(t) é a velocidade, \ddot{x}(t) a aceleração.
Estamos no caso de vibração livre porque não há força externa forçando o sistema (lado direito é zero). A solução depende do chamado “razão de amortecimento” (damping ratio) — veremos qual caso temos.

Passo 3

Calculo a frequência natural não amortecida (isso é central em vibração):
A frequência natural em rad/s é
\omega_n = \sqrt{\dfrac{\mathrm{k}}{\mathrm{m}}}.
Com os valores:
\omega_n = \sqrt{\dfrac{2500}{4}} = \sqrt{625} = 25\\ \text{rad/s}.
Comentário prático: \omega_n diz a rapidez com que o sistema oscilaria sem amortecimento.

Passo 4

Calculo o amortecimento crítico e a razão de amortecimento:
A condição de amortecimento crítico é dada por
\mathrm{c}_{\mathrm{cr}} = 2\,\mathrm{m}\,\omega_n.
Logo
\mathrm{c}_{\mathrm{cr}} = 2\cdot 4 \cdot 25 = 200\\ \mathrm{N\,s/m}.
A razão de amortecimento (damping ratio) é
\zeta = \dfrac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}_{\mathrm{cr}}} = \dfrac{10}{200} = 0{,}05.
Interpretação: \zeta = 0{,}05 < 1, então o sistema é subamortecido (underdamped) — oscilações amortecidas exponencialmente.

Passo 5

Para o caso subamortecido a solução geral (forma padrão usada em provas) é:
x(t) = e^{-\zeta \omega_n t}\big( A\cos(\omega_d t) + B\sin(\omega_d t)\big),
onde \omega_d é a frequência amortecida:
\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}.
Explicação didática: o fator e^{-\zeta\omega_n t} é o envelope exponencial que faz a amplitude decair; a parte trigonométrica representa a oscilação à frequência mais baixa \omega_d por causa do amortecimento.

Passo 6

Calculo \omega_d numericamente:
\omega_d = 25\sqrt{1-(0{,}05)^2} = 25\sqrt{1-0{,}0025} = 25\sqrt{0{,}9975}\approx 24{,}9687\\ \text{rad/s}.
Também útil: período amortecido T_d = \dfrac{2\pi}{\omega_d}\approx 0{,}2516\\ \text{s}. Isso nos ajuda a escolher o intervalo de tempo do gráfico (veremos).

Passo 7

Determino as constantes A e B a partir das condições iniciais. Primeiro, converter \mathrm{x}_0 para metros:
x(0)=\mathrm{x}_0=100\\ \mathrm{mm}=0{,}1\\ \mathrm{m}.
Então
x(0)=e^{0}\big(A\cos0 + B\sin0\big)=A \Rightarrow A = 0{,}1.
Agora a derivada:
\dot{x}(t) = -\zeta\omega_n e^{-\zeta\omega_n t}\big(A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t\big) + e^{-\zeta\omega_n t}\big(-A\omega_d\sin\omega_d t + B\omega_d\cos\omega_d t\big).
Em t=0 isso vira
\dot{x}(0) = -\zeta\omega_n A + B\omega_d.
Usando \dot{x}(0)= -10\\ \mathrm{m/s} e os números já obtidos:
-10 = -(\,0{,}05\cdot 25\,)\cdot 0{,}1 + B\cdot 24{,}9687.
Calculo intermediário: \zeta\omega_n = 0{,}05\cdot 25 = 1{,}25. Então
-10 = -1{,}25\cdot 0{,}1 + B\cdot 24{,}9687 = -0{,}125 + 24{,}9687\,B.
Isolando B:
B = \dfrac{-10 + 0{,}125}{24{,}9687} = \dfrac{-9{,}875}{24{,}9687}\approx -0{,}39562.

Passo 8

Agora já temos todas as peças. A solução analítica (com coeficientes numéricos) é
x(t) = e^{-0{,}05\cdot 25\,t}\big(0{,}1\cos(24{,}9687\,t) - 0{,}39562\sin(24{,}9687\,t)\big).
Dica prática: para visualizar bem a decaída, plote de t=0 até alguns segundos. Como o período é cerca de 0{,}2516\\ \mathrm{s}, um intervalo de 0 a 2{,}0 s mostra várias oscilações e como a amplitude decai.

Passo 9

Código executável para plotar. Copie e cole o bloco Python em um arquivo e execute (ou cole no Jupyter). Ele usa numpy e matplotlib. Também forneço a alternativa em Matlab logo abaixo.
Python (recomendado):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parâmetros (valores do enunciado)
m = 4.0          # kg
k = 2500.0       # N/m
c = 10.0         # N s/m
x0 = 0.1         # m (100 mm)
xdot0 = -10.0    # m/s

# Cálculos auxiliares
omega_n = np.sqrt(k / m)
c_cr = 2 * m * omega_n
zeta = c / c_cr
omega_d = omega_n * np.sqrt(1 - zeta**2)

# Constantes da solução
A = x0
B = (xdot0 + zeta * omega_n * A) / omega_d

# Função solução
def x(t):
    return np.exp(-zeta * omega_n * t) * (A * np.cos(omega_d * t) + B * np.sin(omega_d * t))

# Tempo para plot
t = np.linspace(0, 2.0, 2000)  # 0 a 2 s, muitos pontos para suavizar
xt = x(t)

# Plot
plt.figure(figsize=(8,4))
plt.plot(t, xt, label='x(t)')
# envelope superior e inferior
envelope = np.exp(-zeta * omega_n * t) * np.sqrt(A**2 + B**2)
plt.plot(t, envelope, 'r--', linewidth=0.8, label='envelope')
plt.plot(t, -envelope, 'r--', linewidth=0.8)
plt.grid(True)
plt.xlabel('t (s)')
plt.ylabel('x (m)')
plt.title('Resposta livre amortecida: m=4 kg, k=2500 N/m, c=10 N s/m')
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()
Matlab (alternativa):
m = 4;
k = 2500;
c = 10;
x0 = 0.1;
xdot0 = -10;

omega_n = sqrt(k/m);
c_cr = 2*m*omega_n;
zeta = c / c_cr;
omega_d = omega_n*sqrt(1 - zeta^2);

A = x0;
B = (xdot0 + zeta*omega_n*A)/omega_d;

t = linspace(0,2,2000);
x = exp(-zeta*omega_n*t).*(A*cos(omega_d*t) + B*sin(omega_d*t));

plot(t,x,'b'); hold on;
envelope = exp(-zeta*omega_n*t)*sqrt(A^2 + B^2);
plot(t,envelope,'r--',t,-envelope,'r--');
grid on;
xlabel('t (s)');
ylabel('x (m)');
title('Resposta livre amortecida');
legend('x(t)','envelope');
Observações para a prova e para você:
  • Confirme sempre unidades (x0 em metros).
  • Se precisar do gráfico em mm, multiplique x(t) por 1000.
  • Para checar: em t=0 o gráfico deve começar em x(0)=0{,}1 e a derivada inicial aproximar -10\\ \mathrm{m/s}.
  • Se quiser ver menos ciclos, reduza o tempo final; para ver amortecimento até quase zero, aumente.

Resposta

x(t)=e^{-0{,}05\cdot 25\,t}\big(0{,}1\cos(24{,}9687\,t)-0{,}39562\sin(24{,}9687\,t)\big)
(Código Python executável fornecido no Passo 9 para gerar o gráfico; alternativa Matlab também fornecida.)

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