Provar que para um sistema massa-mola onde a equação de movimento é:
com condições de contorno são:
A solução pode ser escrita como:
Onde
e
A solução pode ser escrita como:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais e pede mostrar que a solução pode ser escrita na forma indicada. Dados fornecidos:
condições iniciais:
o objetivo é provar que existe uma solução da forma
e obter expressões para
e
em função de
e
.
Passo 2
Primeiro vamos obter a frequência natural
e a solução geral da equação homogênea. Dividindo a equação por
obtemos
Definindo
a equação fica
Essa é a equação do oscilador harmônico simples; a equação característica associada é
, cujas raízes são
. Para raízes puramente imaginárias a solução real geral é combinação linear de cosseno e seno, portanto escrevemos a solução geral como
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora calculamos a derivada temporal de
, que usaremos para aplicar
. Derivando termo a termo:
Passo 4
Aplicamos as condições iniciais em
. Primeiro em
:
Como
, temos
Agora em
:
Como
, obtemos
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral obtemos uma forma explícita que satisfaz as condições iniciais:
Essa é uma expressão conveniente, mas queremos a forma com amplitude e fase única:
.
Passo 6
Usamos a identidade trigonométrica de adição para escrever uma soma de seno e cosseno como um único seno com fase. A identidade é
Multiplicando por
:
Comparando coeficientes com a expressão do Passo 5, identificamos
e
Passo 7
Para encontrar
elevamos ao quadrado as duas igualdades e somamos. Usamos que
:
Isso dá
portanto
Essa é a expressão buscada para a amplitude.
Passo 8
Para obter
dividimos as duas igualdades do Passo 6 (assumindo
para evitar divisão por zero no passo intermediário):
O lado esquerdo é
, logo
Assim uma escolha compatível para a fase é
Observação didática: a função
fornece o valor principal de
. Para determinar a fase no quadrante correto (sinal de seno e cosseno simultaneamente), é conveniente usar uma função de dois argumentos como
. Casos especiais: se
então a expressão com
é indefinida, mas voltando às igualdades do Passo 6 obtemos
e
, ou seja
conforme o sinal de
.