Provar que para um sistema massa-mola onde a equação de movimento é:
m \ddot{x}+k x=0
com condições de contorno são:
x(t=0)=x_{0}
\dot{x}(t=0)=\dot{x_{0}}
A solução pode ser escrita como:
x(t)=A_{0} \sin \left(\omega_{n} t+\phi_{0}\right)
Onde
A_{0}=A=\left[x_{0}^{2}+\left(\frac{\dot{x}_{0}}{\omega_{n}}\right)^{2}\right]^{1 / 2}
e
\phi_{0}=\tan ^{-1}\left(\frac{x_{0} \omega_{n}}{\dot{x}_{0}}\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais e pede mostrar que a solução pode ser escrita na forma indicada. Dados fornecidos:
m\ddot{x}+kx=0
condições iniciais:
x(0)=x_{0}
\dot{x}(0)=\dot{x}_{0}
o objetivo é provar que existe uma solução da forma
x(t)=A_{0}\sin\!\bigl(\omega_{n}t+\phi_{0}\bigr)
e obter expressões para \,A_{0}\, e \,\phi_{0}\, em função de x_{0} e \dot{x}_{0}.

Passo 2

Primeiro vamos obter a frequência natural \omega_{n} e a solução geral da equação homogênea. Dividindo a equação por m obtemos
\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0.
Definindo
\omega_{n}=\sqrt{\frac{k}{m}},
a equação fica
\ddot{x}+\omega_{n}^{2}x=0.
Essa é a equação do oscilador harmônico simples; a equação característica associada é \lambda^{2}+\omega_{n}^{2}=0, cujas raízes são \lambda=\pm i\omega_{n}. Para raízes puramente imaginárias a solução real geral é combinação linear de cosseno e seno, portanto escrevemos a solução geral como
x(t)=C\cos\!\bigl(\omega_{n}t\bigr)+D\sin\!\bigl(\omega_{n}t\bigr),
onde C e D são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora calculamos a derivada temporal de x(t), que usaremos para aplicar \dot{x}(0)=\dot{x}_{0}. Derivando termo a termo:
\dot{x}(t)=-C\omega_{n}\sin\!\bigl(\omega_{n}t\bigr)+D\omega_{n}\cos\!\bigl(\omega_{n}t\bigr).

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais em t=0. Primeiro em x(t):
x(0)=C\cos 0 + D\sin 0 = C.
Como x(0)=x_{0}, temos
C=x_{0}.
Agora em \dot{x}(t):
\dot{x}(0)=-C\omega_{n}\sin 0 + D\omega_{n}\cos 0 = D\omega_{n}.
Como \dot{x}(0)=\dot{x}_{0}, obtemos
D=\frac{\dot{x}_{0}}{\omega_{n}}.

Passo 5

Substituindo C e D na solução geral obtemos uma forma explícita que satisfaz as condições iniciais:
x(t)=x_{0}\cos\!\bigl(\omega_{n}t\bigr)+\frac{\dot{x}_{0}}{\omega_{n}}\sin\!\bigl(\omega_{n}t\bigr).
Essa é uma expressão conveniente, mas queremos a forma com amplitude e fase única: x(t)=A_{0}\sin(\omega_{n}t+\phi_{0}).

Passo 6

Usamos a identidade trigonométrica de adição para escrever uma soma de seno e cosseno como um único seno com fase. A identidade é
\sin\!\bigl(\omega_{n}t+\phi_{0}\bigr)=\sin\!\bigl(\omega_{n}t\bigr)\cos\!\phi_{0}+\cos\!\bigl(\omega_{n}t\bigr)\sin\!\phi_{0}.
Multiplicando por A_{0}:
A_{0}\sin\!\bigl(\omega_{n}t+\phi_{0}\bigr)=A_{0}\cos\!\phi_{0}\,\sin\!\bigl(\omega_{n}t\bigr)+A_{0}\sin\!\phi_{0}\,\cos\!\bigl(\omega_{n}t\bigr).
Comparando coeficientes com a expressão do Passo 5, identificamos
A_{0}\sin\!\phi_{0}=x_{0}
e
A_{0}\cos\!\phi_{0}=\frac{\dot{x}_{0}}{\omega_{n}}.

Passo 7

Para encontrar A_{0} elevamos ao quadrado as duas igualdades e somamos. Usamos que \sin^{2}\phi_{0}+\cos^{2}\phi_{0}=1:
A_{0}^{2}\sin^{2}\phi_{0}+A_{0}^{2}\cos^{2}\phi_{0} = x_{0}^{2}+\left(\frac{\dot{x}_{0}}{\omega_{n}}\right)^{2}.
Isso dá
A_{0}^{2} = x_{0}^{2}+\left(\frac{\dot{x}_{0}}{\omega_{n}}\right)^{2},
portanto
A_{0}=\sqrt{\,x_{0}^{2}+\left(\frac{\dot{x}_{0}}{\omega_{n}}\right)^{2}\,}.
Essa é a expressão buscada para a amplitude.

Passo 8

Para obter \phi_{0} dividimos as duas igualdades do Passo 6 (assumindo \dot{x}_{0}\neq 0 para evitar divisão por zero no passo intermediário):
\frac{A_{0}\sin\phi_{0}}{A_{0}\cos\phi_{0}}=\frac{x_{0}}{\dot{x}_{0}/\omega_{n}}.
O lado esquerdo é \tan\phi_{0}, logo
\tan\phi_{0}=\frac{x_{0}\,\omega_{n}}{\dot{x}_{0}}.
Assim uma escolha compatível para a fase é
\phi_{0}=\tan^{-1}\!\left(\frac{x_{0}\omega_{n}}{\dot{x}_{0}}\right).
Observação didática: a função \tan^{-1} fornece o valor principal de \phi_{0}. Para determinar a fase no quadrante correto (sinal de seno e cosseno simultaneamente), é conveniente usar uma função de dois argumentos como \operatorname{atan2}(x_{0},\dot{x}_{0}/\omega_{n}). Casos especiais: se \dot{x}_{0}=0 então a expressão com \tan^{-1} é indefinida, mas voltando às igualdades do Passo 6 obtemos \cos\phi_{0}=0 e \sin\phi_{0}=\operatorname{sign}(x_{0}), ou seja \phi_{0}=\pm\frac{\pi}{2} conforme o sinal de x_{0}.

Resposta

A_{0}=\sqrt{\,x_{0}^{2}+\left(\frac{\dot{x}_{0}}{\omega_{n}}\right)^{2}\,}
\phi_{0}=\tan^{-1}\!\left(\frac{x_{0}\omega_{n}}{\dot{x}_{0}}\right)

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