Provar que
converge usando os seguintes passos:
$(a) Mostrar que se
denota a soma parcial da série, temos
.
(Lembre que
)
$(a) Mostrar que se
(Lembre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer provar que a série
converge. Essa é a famosa série harmônica alternada. O que vamos precisar para resolver isso é entender como somar os primeiros
termos dessa série e mostrar que essa soma parcial,
, pode ser expressa de uma forma mais simples. Para isso, vamos usar uma técnica de somas parciais e algumas manipulações de frações.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a soma parcial
com os primeiros
termos da série:
Isso significa que estamos somando termos alternados positivos e negativos até o termo número
.
Passo 3
Vamos separar a soma em pares de termos. Ou seja, vamos agrupar o primeiro e o segundo termo, o terceiro e o quarto, e assim por diante:
Cada par de termos tem a forma
, onde
varia de 1 a
.
Passo 4
Vamos simplificar cada par de termos. Temos:
Portanto, cada par de termos simplifica para
.
Passo 5
Agora, substituímos essa simplificação na soma parcial:
Resposta
Assim, mostramos que a soma parcial
da série harmônica alternada até
termos é igual a: