Provar que
converge usando os seguintes passos:
$(b) Mostrar que a sequência
converge a um valor
.
$(b) Mostrar que a sequência
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos mostrar que a sequência dos somatórios parciais, ou seja,
, converge para um valor
. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries alternadas e propriedades de convergência de sequências. Precisaremos entender como calcular os somatórios parciais e verificar se eles se aproximam de um limite conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um somatório parcial. Para a série
, o somatório parcial
é a soma dos primeiros
termos dessa série. Ou seja:
Isso significa que somamos termos alternadamente positivos e negativos, até o
-ésimo termo.
Passo 3
Vamos calcular alguns termos para entender o comportamento da sequência
:
- Para
: - Para
: - Para
:
Observamos que os somatórios parciais estão aumentando, mas de forma decrescente à medida que
aumenta.
Passo 4
Para provar que a sequência
converge, vamos utilizar o teste da série alternada de Leibniz. Esse teste diz que uma série da forma
, onde
, converge se:
- Os termos
são decrescentes: para todo . -
.
No nosso caso,
, que claramente é decrescente e tende a zero conforme
aumenta. Portanto, a série converge.
Passo 5
Como a série
converge, sabemos que a sequência dos seus somatórios parciais também converge. Especificamente, a sequência
, que considera apenas os somatórios com um número par de termos, também tende a um limite
quando
tende ao infinito.
Resposta
A sequência
dos somatórios parciais da série
converge para um valor
.