Prove que:
Passo 1
O enunciado pede para provar a igualdade entre dois conjuntos:
Informações dadas (sempre úteis para organizar a prova):
-
, e são conjuntos quaisquer. - A igualdade entre conjuntos costuma ser provada mostrando duas inclusões:
e .
Vamos então provar cada inclusão com argumentos elementares.
Passo 2
Lembrete das definições que vamos usar (explicadas devagarinho):
- Produto cartesiano:
. Ou seja, um par pertence a exatamente quando e . - Diferença de conjuntos:
. Então significa duas coisas simultâneas: e . - Diferença entre produtos:
.
Também usaremos a lógica básica de negação: a negação deé .
Passo 3
Provar
.
Tomemos um elemento arbitrário
. Pela definição de produto cartesiano isso significa:
Da primeira parte
sabemos que
Juntando com
obtemos
. Além disso, como
e
, não é possível que
(porque para
estar em
seria necessário
e
). Logo
. Portanto
.
Como
foi escolhido arbitrariamente, isso prova a inclusão desejada:
Passo 4
Provar
.
Tomemos um elemento arbitrário
. Pela definição de diferença:
Da primeira parte
segue que
Da segunda parte
sabemos a negação da condição de pertença a
. Como
significaria
e
, temos
Mas já sabemos que
(pela primeira parte), portanto a disjunção
só pode ser verdadeira por causa de
. Logo
. Combinando
e
obtemos
. E já tínhamos
. Portanto
.
Como
era arbitrário, concluímos a inclusão
Passo 5
Juntando as duas inclusões das Passos 3 e 4 obtemos a igualdade dos conjuntos. Intuição rápida e exemplo pequeno para fixar: se
,
e
, então
enquanto
e portanto
, que coincide com
. Isso confirma concretamente a igualdade vista acima.