Prove que:
(A \backslash B) \times X=(A \times X) \backslash(B \times X)

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade entre dois conjuntos:
(A \setminus B) \times X = (A \times X) \setminus (B \times X).
Informações dadas (sempre úteis para organizar a prova):
  • A, B e X são conjuntos quaisquer.
  • A igualdade entre conjuntos costuma ser provada mostrando duas inclusões: \subseteq e \supseteq.
    Vamos então provar cada inclusão com argumentos elementares.

Passo 2

Lembrete das definições que vamos usar (explicadas devagarinho):
  • Produto cartesiano: (A\times X)=\{(a,x)\mid a\in A\\ \text{e}\\ x\in X\}. Ou seja, um par (a,x) pertence a A\times X exatamente quando a\in A e x\in X.
  • Diferença de conjuntos: A\setminus B=\{a\mid a\in A\\ \text{e}\\ a\notin B\}. Então a\in A\setminus B significa duas coisas simultâneas: a\in A e a\notin B.
  • Diferença entre produtos: (A\times X)\setminus(B\times X)=\{(a,x)\mid (a,x)\in A\times X\\ \text{e}\\ (a,x)\notin B\times X\}.
    Também usaremos a lógica básica de negação: a negação de (P\land Q) é (\neg P)\lor(\neg Q).

Passo 3

Provar \displaystyle (A\setminus B)\times X \subseteq (A\times X)\setminus(B\times X).
Tomemos um elemento arbitrário (a,x)\in (A\setminus B)\times X. Pela definição de produto cartesiano isso significa:
a\in A\setminus B\quad\text{e}\quad x\in X.
Da primeira parte a\in A\setminus B sabemos que
a\in A\quad\text{e}\quad a\notin B.
Juntando com x\in X obtemos (a,x)\in A\times X. Além disso, como a\notin B e x\in X, não é possível que (a,x)\in B\times X (porque para (a,x) estar em B\times X seria necessário a\in B e x\in X). Logo (a,x)\notin B\times X. Portanto (a,x)\in (A\times X)\setminus(B\times X).
Como (a,x) foi escolhido arbitrariamente, isso prova a inclusão desejada:
(A\setminus B)\times X \subseteq (A\times X)\setminus(B\times X).

Passo 4

Provar \displaystyle (A\times X)\setminus(B\times X) \subseteq (A\setminus B)\times X.
Tomemos um elemento arbitrário (a,x)\in (A\times X)\setminus(B\times X). Pela definição de diferença:
(a,x)\in A\times X \quad\text{e}\quad (a,x)\notin B\times X.
Da primeira parte (a,x)\in A\times X segue que
a\in A \quad\text{e}\quad x\in X.
Da segunda parte (a,x)\notin B\times X sabemos a negação da condição de pertença a B\times X. Como (a,x)\in B\times X significaria a\in B e x\in X, temos
\neg\bigl(a\in B \land x\in X\bigr) \iff (a\notin B)\lor (x\notin X).
Mas já sabemos que x\in X (pela primeira parte), portanto a disjunção (a\notin B)\lor (x\notin X) só pode ser verdadeira por causa de a\notin B. Logo a\notin B. Combinando a\in A e a\notin B obtemos a\in A\setminus B. E já tínhamos x\in X. Portanto (a,x)\in (A\setminus B)\times X.
Como (a,x) era arbitrário, concluímos a inclusão
(A\times X)\setminus(B\times X) \subseteq (A\setminus B)\times X.

Passo 5

Juntando as duas inclusões das Passos 3 e 4 obtemos a igualdade dos conjuntos. Intuição rápida e exemplo pequeno para fixar: se A=\{1,2\}, B=\{2\} e X=\{a,b\}, então
A\setminus B=\{1\},\quad (A\setminus B)\times X=\{(1,a),(1,b)\},
enquanto
A\times X=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)\},\quad B\times X=\{(2,a),(2,b)\},
e portanto (A\times X)\setminus(B\times X)=\{(1,a),(1,b)\}, que coincide com (A\setminus B)\times X. Isso confirma concretamente a igualdade vista acima.

Resposta

(A \setminus B) \times X = (A \times X) \setminus (B \times X)

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