Prove que:
Passo 1
O enunciado pede para provar a igualdade entre dois conjuntos:
Informações dadas (explícitas no enunciado):
-
, e são conjuntos quaisquer. - O produto cartesiano
é entendido como o conjunto de pares ordenados com e . - A interseção
é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a e a .
O que é pedido: uma demonstração que os dois conjuntos acima são iguais.
Passo 2
Lembrando as definições que vamos usar (aqui explico cada símbolo com calma).
- Definição do produto cartesiano:
Isto significa que um par ordenado
pertence a
exatamente quando
e
.
- Definição da interseção:
Isto significa que um elemento
pertence a
exatamente quando pertence simultaneamente a
e a
.
- Método padrão para provar igualdade de conjuntos: mostrar duas inclusões
-
; -
.
Se ambas valem então os conjuntos são iguais.
-
Passo 3
Prova da primeira inclusão
.
Pegue um elemento arbitrário
em
. Pela definição de produto cartesiano isso significa:
-
implica e .
Pela definição de interseção
significa
e
.
Portanto temos simultaneamente:
-
e , o que implica ; -
e , o que implica .
Como
pertence a ambos
e
, segue que
.
Como escolhemos
arbitrariamente em
, concluímos a inclusão
Passo 4
Prova da segunda inclusão
.
Pegue um elemento arbitrário
em
. Pela definição de interseção isso significa:
-
e .
Pela definição de produto cartesiano,
dá
e
. Também
dá
e
.
Das duas informações sobre
obtemos
e
, logo
. E já temos
.
Assim
e
, o que por definição do produto cartesiano implica
.
Como
foi arbitrário em
, concluímos a inclusão
Passo 5
Conclusão final juntando as duas inclusões.
Das inclusões provadas nos Passos 3 e 4 segue que
Portanto os dois conjuntos são iguais:
Passo 6
Exemplo concreto (para fixar a ideia): seja
,
e
.
-
, então . -
. -
.
Logo, que coincide com . Isso exemplifica a igualdade comprovada.