Prove que:
(A \cap B) \times X=(A \times X) \cap(B \times X)

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade entre dois conjuntos:
(A \cap B) \times X = (A \times X) \cap (B \times X).
Informações dadas (explícitas no enunciado):
  • A, B e X são conjuntos quaisquer.
  • O produto cartesiano S\times T é entendido como o conjunto de pares ordenados (s,t) com s\in S e t\in T.
  • A interseção S\cap T é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a S e a T.
O que é pedido: uma demonstração que os dois conjuntos acima são iguais.

Passo 2

Lembrando as definições que vamos usar (aqui explico cada símbolo com calma).
  • Definição do produto cartesiano: A\times X = \{(a,x)\mid a\in A,\; x\in X\}.
Isto significa que um par ordenado (u,v) pertence a A\times X exatamente quando u\in A e v\in X.
  • Definição da interseção: A\cap B = \{u\mid u\in A \text{ e } u\in B\}.
Isto significa que um elemento u pertence a A\cap B exatamente quando pertence simultaneamente a A e a B.
  • Método padrão para provar igualdade de conjuntos: mostrar duas inclusões
    1. (A\cap B)\times X \subseteq (A\times X)\cap(B\times X);
    2. (A\times X)\cap(B\times X) \subseteq (A\cap B)\times X.
      Se ambas valem então os conjuntos são iguais.

Passo 3

Prova da primeira inclusão (A\cap B)\times X \subseteq (A\times X)\cap(B\times X).
Pegue um elemento arbitrário (u,v) em (A\cap B)\times X. Pela definição de produto cartesiano isso significa:
  • (u,v)\in (A\cap B)\times X implica u\in A\cap B e v\in X.
Pela definição de interseção u\in A\cap B significa u\in A e u\in B.
Portanto temos simultaneamente:
  • u\in A e v\in X, o que implica (u,v)\in A\times X;
  • u\in B e v\in X, o que implica (u,v)\in B\times X.
Como (u,v) pertence a ambos A\times X e B\times X, segue que (u,v)\in (A\times X)\cap(B\times X).
Como escolhemos (u,v) arbitrariamente em (A\cap B)\times X, concluímos a inclusão
(A\cap B)\times X \subseteq (A\times X)\cap(B\times X).

Passo 4

Prova da segunda inclusão (A\times X)\cap(B\times X) \subseteq (A\cap B)\times X.
Pegue um elemento arbitrário (u,v) em (A\times X)\cap(B\times X). Pela definição de interseção isso significa:
  • (u,v)\in A\times X e (u,v)\in B\times X.
Pela definição de produto cartesiano, (u,v)\in A\times X u\in A e v\in X. Também (u,v)\in B\times X u\in B e v\in X.
Das duas informações sobre u obtemos u\in A e u\in B, logo u\in A\cap B. E já temos v\in X.
Assim u\in A\cap B e v\in X, o que por definição do produto cartesiano implica (u,v)\in (A\cap B)\times X.
Como (u,v) foi arbitrário em (A\times X)\cap(B\times X), concluímos a inclusão
(A\times X)\cap(B\times X) \subseteq (A\cap B)\times X.

Passo 5

Conclusão final juntando as duas inclusões.
Das inclusões provadas nos Passos 3 e 4 segue que
(A\cap B)\times X \subseteq (A\times X)\cap(B\times X) \quad\text{e}\quad (A\times X)\cap(B\times X) \subseteq (A\cap B)\times X.
Portanto os dois conjuntos são iguais:
(A\cap B)\times X = (A\times X)\cap(B\times X).

Passo 6

Exemplo concreto (para fixar a ideia): seja A=\{1,2\}, B=\{2,3\} e X=\{a,b\}.
  • A\cap B=\{2\}, então (A\cap B)\times X=\{(2,a),(2,b)\}.
  • A\times X=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)\}.
  • B\times X=\{(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\}.
    Logo (A\times X)\cap(B\times X)=\{(2,a),(2,b)\}, que coincide com (A\cap B)\times X. Isso exemplifica a igualdade comprovada.

Resposta

(A \cap B) \times X=(A \times X) \cap(B \times X)

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