1.9.7 Prove que
é solenoidal, em que
e
são funções escalares diferenciáveis.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o campo vetorial
é solenoidal, ou seja, que
onde
e
são funções escalares diferenciáveis. O conteúdo usado será a identidade de divergência de um produto vetorial e o fato de que o rotor de um gradiente é zero.
Passo 2
Lembramos a identidade vetorial que vale para quaisquer campos vetoriais
e
:
Passo 3
Apliquemos essa identidade com
e
. Então
Passo 4
Sabemos que o rotor de um gradiente é sempre nulo:
Substituindo na expressão anterior, cada termo fica
e
.
Resposta
logo
é solenoidal.