1.9.7 Prove que (\boldsymbol{\nabla} u) \times(\boldsymbol{\nabla} v) é solenoidal, em que u e v são funções escalares diferenciáveis.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o campo vetorial
\mathbf{F} = (\nabla u)\times(\nabla v)
é solenoidal, ou seja, que
\nabla\cdot\mathbf{F}=0,
onde u e v são funções escalares diferenciáveis. O conteúdo usado será a identidade de divergência de um produto vetorial e o fato de que o rotor de um gradiente é zero.

Passo 2

Lembramos a identidade vetorial que vale para quaisquer campos vetoriais \mathbf{A} e \mathbf{B}:
\nabla\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = \mathbf{B}\cdot(\nabla\times\mathbf{A}) - \mathbf{A}\cdot(\nabla\times\mathbf{B}).

Passo 3

Apliquemos essa identidade com \mathbf{A}=\nabla u e \mathbf{B}=\nabla v. Então
\nabla\cdot\bigl((\nabla u)\times(\nabla v)\bigr) = \nabla v\cdot\bigl(\nabla\times(\nabla u)\bigr) - \nabla u\cdot\bigl(\nabla\times(\nabla v)\bigr).

Passo 4

Sabemos que o rotor de um gradiente é sempre nulo:
\nabla\times(\nabla u)=\mathbf{0}, \quad \nabla\times(\nabla v)=\mathbf{0}.
Substituindo na expressão anterior, cada termo fica \nabla v\cdot\mathbf{0}=0 e \nabla u\cdot\mathbf{0}=0.

Resposta

\nabla\cdot\bigl((\nabla u)\times(\nabla v)\bigr)=0,
logo (\nabla u)\times(\nabla v) é solenoidal.

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