1.9.6 Da equação de Navier-Stokes para o fluxo constante de um fluido viscoso incompressível, temos o termo
\boldsymbol{\nabla} \times[\mathbf{v} \times(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{v})],
em que \mathbf{v} é a velocidade do fluido. Mostre que esse termo reduz-se a zero para o caso especial.
\mathbf{v}=\hat{\mathbf{x}} v(y, z)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no fluxo constante de um fluido viscoso incompressível, o termo
\boldsymbol{\nabla}\times\bigl[\mathbf{v}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{v})\bigr]
anula-se quando \displaystyle \mathbf{v}=\hat{\mathbf{x}}\,v(y,z).
Para isso vamos usar cálculo vetorial: rotacional, produto vetorial, gradiente e a identidade de que o rotacional de um gradiente é zero.

Passo 2

Calcular o rotacional de \mathbf{v}. Como \displaystyle \mathbf{v}=(v(y,z),0,0),
temos
\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{v} =\begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}}\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\ v & 0 & 0 \end{vmatrix} =(0,\;\partial_z v,\;-\partial_y v)\,.

Passo 3

Calcular o produto vetorial \mathbf{v}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{v}). Com \mathbf{v}=(v,0,0) e \boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{v}=(0,\partial_z v,-\partial_y v),
temos
\mathbf{v}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{v}) =\begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}}\\\ v & 0 & 0\\\\ 0 & \partial_z v & -\partial_y v \end{vmatrix} =(0,\;v\,\partial_y v,\;v\,\partial_z v)\,.

Passo 4

Reconhecer que (0,v\,\partial_y v,v\,\partial_z v) é exatamente o gradiente de \tfrac{v^2}{2}, isto é,
\mathbf{v}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{v}) =\boldsymbol{\nabla}\!\bigl(\tfrac{v^2}{2}\bigr)\,.

Passo 5

Usar a identidade fundamental do cálculo vetorial: o rotacional de um gradiente é sempre zero,
\boldsymbol{\nabla}\times\bigl[\boldsymbol{\nabla}\varphi\bigr]=\mathbf{0}.
Logo, no nosso caso,
\boldsymbol{\nabla}\times\bigl[\mathbf{v}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{v})\bigr] =\boldsymbol{\nabla}\times\bigl[\boldsymbol{\nabla}(\tfrac{v^2}{2})\bigr] =\mathbf{0}.

Resposta

O termo reduz-se ao vetor nulo:
\boldsymbol{\nabla}\times\bigl[\mathbf{v}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{v})\bigr] =\mathbf{0}.

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