Prove que cada função abaixo é bijetora e determine a sua inversa.
g: \mathbb{R} \backslash\{4\} \rightarrow \mathbb{R} \backslash\{1\} tal que g(x)=\frac{x+1}{x-4};

Passo 1

O enunciado dá a função \,g:\mathbb{R}\setminus\{4\}\to\mathbb{R}\setminus\{1\}\, definida por
g(x)=\frac{x+1}{x-4}.
O que pede:
  1. Provar que g é bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora).
  2. Determinar a função inversa g^{-1}.
Informações relevantes dadas:
  • Domínio de g é \mathbb{R}\setminus\{4\} (não podemos usar x=4 porque o denominador ficaria zero).
  • Contradomínio (ou imagem alvo) é \mathbb{R}\setminus\{1\} (o valor 1 está excluído da imagem declarada).
  • A expressão de g(x) é uma função racional linear-fracionária \frac{x+1}{x-4}.

Passo 2

Definição e estratégia para provar injetividade:
Uma função é injetora se valores distintos do domínio levam a valores distintos na imagem. Um modo direto de provar injetividade é assumir que dois pontos do domínio têm a mesma imagem e mostrar que esses pontos devem ser iguais. Vou aplicar isso: suponha que existam x_1,x_2\in\mathbb{R}\setminus\{4\} com
\frac{x_1+1}{x_1-4}=\frac{x_2+1}{x_2-4}.
A ideia é manipular essa igualdade algebricamente até chegar em x_1=x_2. Ao fazer isso, devo tomar cuidado para não multiplicar por zero; aqui x_1-4 e x_2-4 são ambos diferentes de zero porque x_1,x_2 estão no domínio.

Passo 3

Prova detalhada da injetividade (passo a passo das contas):
Partindo de
\frac{x_1+1}{x_1-4}=\frac{x_2+1}{x_2-4},
faço a multiplicação em cruz (válida porque x_1-4\neq0 e x_2-4\neq0):
(x_1+1)(x_2-4)=(x_2+1)(x_1-4).
Agora vou expandir os produtos cuidadosamente:
x_1x_2-4x_1+x_2-4 = x_1x_2-4x_2+x_1-4.
Note que terminei com termos iguais x_1x_2 em ambos os lados; cancelo esses termos:
-4x_1+x_2-4 = -4x_2+x_1-4.
Posso somar 4 aos dois lados para eliminar o -4:
-4x_1+x_2 = -4x_2+x_1.
Reúno termos com x_1 de um lado e com x_2 do outro; por exemplo, somo 4x_1 e subtraio x_1 ambos os lados:
x_2 - (-4x_2) = x_1 + 4x_1,
mas é mais direto rearranjar:
-4x_1 - x_1 = -4x_2 - x_2,
ou seja
-5x_1 = -5x_2.
Dividindo por -5 (número não nulo) obtemos
x_1 = x_2.
Isso mostra que, sempre que duas imagens são iguais, os pré-imagens também são iguais; logo g é injetora.
(Comentário amigo: o truque foi a multiplicação em cruz seguida de simplificação — nada mágico, só cuidado com termos iguais que se cancelam.)

Passo 4

Estratégia para provar sobrejetividade (ser sobre):
Uma função g é sobrejetora quando todo elemento do contradomínio \mathbb{R}\setminus\{1\} é imagem de algum x no domínio. Para provar isso construtivamente, tomo um valor arbitrário y\in\mathbb{R}\setminus\{1\} e resolvo a equação
y=\frac{x+1}{x-4}
para x. Se a solução x existir, for real e pertencer ao domínio \mathbb{R}\setminus\{4\}, então y é realmente atingido por g. Como y\neq1, poderemos dividir por y-1 quando aparecer.

Passo 5

Resolvendo a equação para obter o candidato à inversa (contas passo a passo):
Parto de
y=\frac{x+1}{x-4}.
Multiplicando ambos os lados por x-4 (válido porque buscamos x tal que x\neq4):
y(x-4)=x+1.
Expando o lado esquerdo:
yx-4y = x+1.
Agrupo os termos com x num lado:
yx - x = 4y + 1.
Coloco x em evidência no lado esquerdo:
x(y-1) = 4y+1.
Agora divido ambos os lados por y-1. Isso é válido porque escolhemos y\in\mathbb{R}\setminus\{1\}, logo y-1\neq0. Assim:
x = \frac{4y+1}{y-1}.
Esse x é o pré-imagem buscada de y. Ainda preciso verificar que esse x realmente está no domínio, ou seja, que x\neq4. Vamos checar: suponha, para ver se há problema, que
\frac{4y+1}{y-1}=4.
Multiplicando, obtemos 4y+1 = 4(y-1) = 4y-4, o que daria 1=-4, uma contradição. Portanto não há solução que faça x=4; assim o x encontrado está em \mathbb{R}\setminus\{4\}. Concluímos que para todo y\in\mathbb{R}\setminus\{1\} existe x\in\mathbb{R}\setminus\{4\} com g(x)=y. Logo g é sobrejetora.

Passo 6

Concluindo bijetividade e escrevendo explicitamente a inversa; verificação por composição:
Do passo anterior obtemos a expressão do pré-imagem em função de y. Isso sugere que a inversa g^{-1}:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}\setminus\{4\} é dada por
g^{-1}(y)=\frac{4y+1}{y-1}.
É boa prática verificar as composições para se certificar que é mesmo a inversa.
Verificação 1: g(g^{-1}(y))=y. Substituo x=g^{-1}(y)=\dfrac{4y+1}{y-1} em g(x)=\dfrac{x+1}{x-4}. Para não alongar demais a notação, faço a simplificação simbólica:
g\bigl(g^{-1}(y)\bigr) = \frac{\dfrac{4y+1}{y-1}+1}{\dfrac{4y+1}{y-1}-4}.
Coloco tudo sobre o mesmo denominador y-1:
= \frac{\dfrac{4y+1 + (y-1)}{y-1}}{\dfrac{4y+1 -4(y-1)}{y-1}} = \frac{4y+1+y-1}{4y+1-4y+4} = \frac{5y}{5} = y.
(Aqui usei que y-1\neq0 para combinar frações e que as simplificações numéricas levam a y.)
Verificação 2: g^{-1}(g(x))=x. Substituo y=g(x)=\dfrac{x+1}{x-4} na fórmula da inversa:
g^{-1}\bigl(g(x)\bigr) = \frac{4\cdot\frac{x+1}{x-4}+1}{\frac{x+1}{x-4}-1}.
Colocando tudo sobre o denominador x-4:
= \frac{\dfrac{4(x+1)+ (x-4)}{x-4}}{\dfrac{x+1-(x-4)}{x-4}} = \frac{4x+4+x-4}{x+1-x+4} = \frac{5x}{5} = x.
(Usamos x\neq4 para garantir a validade das operações.) Ambas composições retornam o elemento original, confirmando que a fórmula é a inversa correta.
Portanto g é bijetora e sua inversa é a dada acima.

Resposta

g é bijetora.
g^{-1}(x)=\frac{4x+1}{x-1}

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