Prove que cada uma das seguintes funções é limitada no intervalo indicado:
em
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é limitada no intervalo
.
O conteúdo principal aqui é provar existência de uma constante tal que
para todo
.
Para isso, vamos usar fatoração de polinômios e estimativas de desigualdades.
O conteúdo principal aqui é provar existência de uma constante
Para isso, vamos usar fatoração de polinômios e estimativas de desigualdades.
Passo 2
Observe que, para
, podemos fatorar
Logo, em
(onde
),
Passo 3
Agora vamos estimar numerador e denominador separadamente em
.
- Numerador:
portanto para todo
vale
- Denominador:
Defina.
É um polinômio quadrático cujo vértice ocorre em.
Calculando
E como a concavidade de
é para cima, temos
em particular em
.
Passo 4
Com as duas estimativas:
segue que, para todo
,
Logo
.
Resposta
A função
é limitada em
; por exemplo, basta tomar
, pois