Prove que cada uma das seguintes funções é limitada no intervalo indicado:
f(x)=\frac{1-x^{2}}{1+x^{3}} \quad em \quad(-1,1)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=\frac{1 - x^{2}}{1 + x^{3}}
é limitada no intervalo (-1,1).
O conteúdo principal aqui é provar existência de uma constante M tal que \lvert f(x)\rvert \le M para todo x\in(-1,1).
Para isso, vamos usar fatoração de polinômios e estimativas de desigualdades.

Passo 2

Observe que, para x\neq -1, podemos fatorar
1 - x^{2}=(1 - x)(1 + x), \quad 1 + x^{3}=(1 + x)(1 - x + x^{2}).
Logo, em (-1,1) (onde 1+x>0),
f(x) =\frac{1 - x^{2}}{1 + x^{3}} =\frac{(1 - x)(1 + x)}{(1 + x)(1 - x + x^{2})} =\frac{1 - x}{1 - x + x^{2}}.

Passo 3

Agora vamos estimar numerador e denominador separadamente em (-1,1).
  1. Numerador:
1 - x \in (1 - 1,\,1 - (-1))=(0,\,2),
portanto para todo x\in(-1,1) vale
0 < 1 - x \le 2.
  1. Denominador:
    Defina d(x)=1 - x + x^{2}.
    É um polinômio quadrático cujo vértice ocorre em x=\tfrac{1}{2}.
    Calculando
d\!\bigl(\tfrac12\bigr) =1 - \tfrac12 + \bigl(\tfrac12\bigr)^{2} =1 - 0,5 + 0,25 =0,75.
E como a concavidade de x^{2}-x+1 é para cima, temos
d(x)\ge 0,75 \quad\forall x\in\mathbb{R},
em particular em (-1,1).

Passo 4

Com as duas estimativas:
0 < 1 - x \le 2, \quad 1 - x + x^{2} \ge 0,75,
segue que, para todo x\in(-1,1),
0 \le f(x)=\frac{1 - x}{1 - x + x^{2}} \le \frac{2}{0,75} =\frac{8}{3}.
Logo \lvert f(x)\rvert \le \tfrac{8}{3}.

Resposta

A função f(x) é limitada em (-1,1); por exemplo, basta tomar M=\tfrac{8}{3}, pois
\lvert f(x)\rvert \le \frac{8}{3} \quad\forall x\in(-1,1).

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